Achar as derivadas das seguintes funções.

y = sen^3(5x) + cos^2(x / 3)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = sen^3 5 x cos^2 (x)/(3)

Vamos substituir as funções trigonométricas, com:

u = sen 5 x e v = cos (x)/(3)

Assim teremos:

y = u^3 * v^2

Logo, com a regra da cadeia, nossa derivada será:

y^' = ((u^3)^' (sen 5 x)^') (v^2) + (u^3) ((v^2)^' (cos (x)/(3))^')

Lembrando que:

(cos A)^' = - A^' sen A e (sen B)^' = B^' cos B

Logo:

y^' = 3 u^2 (5 cos 5 x) (v^2) + (u^3) (2 v (- (1)/(3) sen (x)/(3)))

y^' = 15 u^2 v^2 cos 5 x - (2)/(3) u^3 v sen (x)/(3)

Voltando com nossos termo u e v :

y^' = 15 ( sen 5 x )^2 (cos (x)/(3))^2 cos 5 x - (2)/(3) (sen 5 x)^3 (cos (x)/(3)) sen (x)/(3)

y^' = 15 sen^2 5 x cos^2 (x)/(3) cos 5 x - (2)/(3) sen^3 5 x cos (x)/(3) sen (x)/(3)

Resposta

y^' = 15 sen^2 5 x cos^2 (x)/(3) cos 5 x - (2)/(3) sen^3 5 x cos (x)/(3) sen (x)/(3)

Fecho aí?Se tiver alguma dúvida, é só falar com a gente!