Achar as derivadas das seguintes funções.

f(t) = sen(t) + sen(t + φ)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

f ( t ) = sen t sen ( t + varphi )

Bem, como já sabemos:

(sen A)^' = A^' cos A

Então, com a regra da cadeia, nossa derivada será:

f^' (t) = (sen t)^' (sen (t + varphi)) + (sen t) (sen (t + varphi))^'

Então:

y^' = cos t sen ( t + varphi ) + sen t cos ( t + varphi )

Lembrando das identidades trigonométricas, podemos reescrever assim:

y^' = sen (t + (t + varphi))

y^' = sen ( 2 t + varphi )

Resposta

y^' = sen ( 2 t + varphi )

Compreendeu?Qualquer dúvida, manda pra gente!