Achar a razão Δy / Δx para a função y = 1 / x no ponto x = 2 , se:

  1. Δx = 1;
  2. Δx = 0,1;
  3. Δx = 0,01;

Qual será a derivada y' quando x = 2 ?

Passo 1

Vamos lá! Já sabemos calcular essa razão, né?

Lembrando que:

Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Então:

Δ y Δ x = f x + Δ x - f ( x ) Δ x

Passo 2

Agora, basta aplicarmos.

  1. Δ x = 1

f x = 1 x

x = 2       e       Δ x = 1

Logo, teremos:

Δ y Δ x = f 2 + 1 - f 2 1

Δ y Δ x = 1 2 + 1 - 1 2 1

Δ y Δ x = 1 3 - 1 2 1

Δ y Δ x = 2 6 - 3 6

Δ y Δ x = - 1 6 = - 0,1666

Passo 3

  1. Δ x = 0 , 1
  2. f x = 1 x

    x = 2       e       Δ x = 0,1

    Logo, teremos:

    Δ y Δ x = f 2 + 0 , 1 - f 2 1

    Δ y Δ x = 1 2 + 0,1 - 1 2 1

    Δ y Δ x = 1 2,1 - 1 2

    Δ y Δ x = 2 - 2,1 4,2

    Δ y Δ x = - 0,1 4,2

    Δ y Δ x = - 0,0238

    Passo 4

  3. Δ x = 0,01

f x = 1 x

x = 2       e       Δ x = 0,01

Logo, teremos:

Δ y Δ x = f 2 + 0,0 1 - f 2 1

Δ y Δ x = 1 2 + 0,01 - 1 2 1

Δ y Δ x = 1 2,01 - 1 2

Δ y Δ x = 2 - 2,01 4,02

Δ y Δ x = - 0,01 4,02

Δ y Δ x = - 0,00248

Passo 4

Para encontrar a derivada da função, sabemos que:

y ' = lim Δ x → 0 ⁡ Δ Y Δ x ⁡

Então, para y ' , quando x = 2 , teremos:

y ' = l i m Δ x → 0 1 x + Δ x - 1 x Δ x

y ' = l i m Δ x → 0 x - ( x + Δ x ) x ( x + Δ x ) Δ x

y ' = l i m Δ x → 0 x - x - Δ x x x + Δ x Δ x

y ' = l i m Δ x → 0 - Δ x x x + Δ x ∙ 1 Δ x

y ' = l i m Δ x → 0 - 1 x x + Δ x

Agora, é só substituir o Δ x para encontrarmos o limite da derivada:

y ' = l i m Δ x → 0 - 1 x x + Δ x = - 1 x x + 0 = - 1 x 2

Com x = 2 :

y ' ( 2 ) = - 1 2 2 = - 1 4 = - 0,25

Resposta

Fechou?!

  1. Δ y Δ x = - 0,1666
  2. Δ y Δ x = - 0,0238
  3. Δ y Δ x = - 0,00248

E a derivada y ' , com x = 2 , é y ' 2 = - 0,25 .

Sucesso aí? Compreendeu?Qualquer dúvida, só chamar, que “noix” resolve!!