Achar as seguintes integrais, aplicando-se as regras principais 1), 2) e 3) e as fórmulas de integração:

∫ d x x 2 + 7      

Passo 1

Integrais!

Nesse caso, iremos precisar usar as substituições trigonométricas.

  • Lembrando, com as fórmulas de recorrência, que:

∫ d x x 2 + a 2 = 1 a arctan ⁡ x a + C

Assim, podemos identificar o termo a ali como 7 = a 2 , logo a = 7 .

Passo 2

Então:

∫ d x x 2 + 7 = 1 √ 7 arctan ⁡ x √ 7 + C

Passo 3

Reorganizando, para tirar a raiz quadrada do denominador:

1 ∙ 7 7 ∙ 7 arctan ⁡ x ∙ 7 7 ∙ 7 + C =

= 7 7 arctan ⁡ x ∙ 7 7 ∙ 7 + C =

= 7 7 arctan ⁡ 7 x 7 + C

Resposta

∫ d x x 2 + 7 = 7 7 arctan ⁡ 7 x 7 + C

Em muitos casos essa substituição trigonométrica se faz necessária, pra facilitar a integração da função.

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