Achar as seguintes integrais, aplicando-se as regras principais 1), 2) e 3) e as fórmulas de integração:

∫ a - x 4 a x d x    

Passo 1

Integrais!

Vamos reorganizar essa função, pra facilitar enxerga-la melhor.

∫ a - x 4 a x d x =

= ∫ a 1 2 - x 1 2 4 a 1 2 ∙ x 1 2 d x =

= 1 a 1 2 ∫ a 1 2 - x 1 2 4 x 1 2 d x =

1 a 1 2 ∫ a 1 2 - x 1 2 4 d x x 1 2  

Passo 2

Se repararmos bem, vemos que é possível usar a substituição u ali. Se liga só:

Adotando:

u = a 1 2 - x 1 2

Vamos ter:

∂ u ∂ x = - 1 2 x 1 2 - 1

∂ u ∂ x = - 1 2 x 1 - 2 2

∂ u ∂ x = - 1 2 x - 1 2

∂ u ∂ x = - 1 2 x 1 2

- 2 ∂ u = ∂ x x 1 2

Passo 3

Bingo! Achamos os dois termos na integral!

Vamos reescrever:

1 a 1 2 ∫ u 4 - 2 ∂ u =

= 1 a 1 2 ∫ - 2 u 4 ∂ u =

= - 2 a 1 2 ∫ u 4 ∂ u

Agora ficou molezinha, né?

= - 2 a 1 2 ∙ u 5 5 + C

Passo 4

Agora voltamos com nosso termo x , onde:

u = a 1 2 - x 1 2

= - 2 a 1 2 ∙ a 1 2 - x 1 2 5 5 + C =

= - 2 a - x 5 5 a 1 2 + C

Resposta

∫ a - x 4 a x d x = - 2 a - x 5 5 a 1 2 + C

Percebeu a utilidade da substituição? Se fosse desenvolver pela forma tradicional, ia levar um tempinho bom, multiplicando esses termos todos.