Achar as seguintes integrais, aplicando-se as regras principais 1), 2) e 3) e as fórmulas de integração:

∫ 2 + x 2 - 2 - x 2 4 - x 4 d x

Passo 1

Integrais!

Não assusta com essa não. Parece difícil, mas você vai ver que não é.

Vamos lá!

Primeiro, vamos mudar um pouco a cara dessa função.

Vamos lembrar que:

a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Então dá pra reescrever aquele denominador ali, né?

4 - x 4 = 2 2 - x 2 2 = ( 2 + x 2 ) ( 2 - x 2 )

∫ 2 + x 2 - 2 - x 2 ( 2 + x 2 ) ( 2 - x 2 ) d x

∫ 2 + x 2 - 2 - x 2 ( 2 + x 2 ) ∙ ( 2 - x 2 ) d x

Agora vamos tirar essas raízes e separar a função.

∫ 2 + x 2 1 2 - 2 - x 2 1 2 2 + x 2 1 2 ∙ 2 - x 2 1 2 d x

∫ 2 + x 2 1 2 2 + x 2 1 2 ∙ 2 - x 2 1 2 d x - ∫ 2 - x 2 1 2 2 + x 2 1 2 ∙ 2 - x 2 1 2 d x

∫ d x 2 - x 2 1 2 - ∫ d x 2 + x 2 1 2

∫ d x 2 - x 2 - ∫ d x 2 + x 2

Passo 2

Agora já conseguimos achar algumas relações na tabela.

∫ d x a 2 - x 2 = arcsen ⁡ x a + C

∫ d x x 2 + a = ln ⁡ x + x 2 + a + C

Então, teremos:

∫ d x 2 - x 2 - ∫ d x 2 + x 2 = arcsen ⁡ x 2 - ln ⁡ x + x 2 + 2 + C

= arcsen ⁡ x 2 2 - ln ⁡ x + x 2 + 2 + C

Resposta

∫ 2 + x 2 - 2 - x 2 4 - x 4 d x = arcsen ⁡ x 2 2 - ln ⁡ x + x 2 + 2 + C

Ás vezes precisamos dar uma mudada na cara da função, manipular alguns termos, pra conseguir encontrar sua forma nas tabelas de recorrência.

Legal essa, né? Rs.

Qualquer dúvida, chama a gente!