Achar as seguintes integrais, aplicando-se as regras principais 1), 2) e 3) e as fórmulas de integração:

∫ x m - x n 2 x d x    

Passo 1

Saaalve, vamos lá resolver mais uma questão juntos?! Vamos falar de integrais!

Bora começar expandindo isso aí.

∫ x m - x n 2 x d x =

= ∫ x m - x n x m - x n x 1 2 d x   =

= ∫ x 2 m - 2 x m + n + x 2 n x 1 2 d x =

= ∫ x 2 m x 1 2 d x - ∫ 2 x m + n x 1 2 d x + ∫ x 2 n x 1 2 d x =

= ∫ x 2 m - 1 2 d x - 2 ∫ x m + n - 1 2 d x + ∫ x 2 n - 1 2 d x =

= ∫ x 4 m - 1 2 d x - 2 ∫ x 2 m + 2 n - 1 2 d x + ∫ x 4 n - 1 2 d x =

= x 4 m - 1 2 + 1 4 m - 1 2 + 1 - 2 ∙ x 2 m + 2 n - 1 2 + 1 2 m + 2 n - 1 2 + 1 + x 4 n - 1 2 + 1 4 n - 1 2 + 1 + C =

= x 4 m - 1 + 2 2 4 m - 1 + 2 2 - 2 ∙ x 2 m + 2 n - 1 + 2 2 2 m + 2 n - 1 + 2 2 + x 4 n - 1 + 2 2 4 n - 1 + 2 2 + C =

= 2 x 4 m + 1 2 4 m + 1 - 2 ∙ 2 ∙ x 2 m + 2 n + 1 2 2 m + 2 n + 1 + 2 x 4 n + 1 2 4 n + 1 + C =

= 2 x 4 m + 1 2 4 m + 1 - 4 x 2 m + 2 n + 1 2 2 m + 2 n + 1 + 2 x 4 n + 1 2 4 n + 1 + C =

= 2 x 4 m 2 ∙ x 1 2 4 m + 1 - 4 x 2 m 2 ∙ x 2 n 2 ∙ x 1 2 2 m + 2 n + 1 + 2 x 4 n 2 ∙ x 1 2 4 n + 1 + C

= 2 x x 2 m 4 m + 1 - 2 x m + n 2 m + 2 n + 1 + x 2 n 4 n + 1 + C

Viu como foi tranquilo! Ficou claro o desenvolvimento aí? Qualquer coisa é só chamar 😊

Resposta

∫ x m - x n 2 x d x = 2 x x 2 m 4 m + 1 - 2 x m + n 2 m + 2 n + 1 + x 2 n 4 n + 1 + C