Achar as seguintes integrais, aplicando-se as regras principais 1), 2) e 3) e as fórmulas de integração:

  1. ∫ tan 2 ⁡ x d x
  2. ∫ tanh 2 ⁡ x d x

Passo 1

Integrais!

Vamos lá!

  1. ∫ tan 2 ⁡ x d x
  2. Que tal trocarmos essa tangente aí?

    Com a ajuda das identidades trigonométricas, temos que:

    tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

    Agora já melhorou bastante, né?

    ∫ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x =

    ∫ sec 2 ⁡ x d x - ∫ 1 d x =

    Passo 2

    Agora já conseguimos achar alguma relação na tabela, aí fica:

    ∫ sec 2 ⁡ x d x - ∫ 1 d x = tan ⁡ x - x + C

    Passo 3

  3. ∫ tanh 2 ⁡ x d x

Aqui temos uma função trigonométrica hiperbólica. Mas não precisa se assustar!

Funcionam similarmente às funções trigonométricas normais, só que com algumas diferenças.

Nesse caso, vamos manipular a função, trocando por uma identidade, onde temos que:

tanh 2 ⁡ x = 1 - sech 2 ⁡ x

Assim teremos, como na questão anterior:

∫ 1 - sech 2 ⁡ x d x =

= ∫ 1 d x - ∫ sech 2 ⁡ x d x

Passo 2

Com a tabela, agora já podemos resolver.

∫ d x - ∫ sech 2 ⁡ x 1 d x = x - tanh ⁡ x + C

Resposta

  1. tan ⁡ x - x + C
  2. x - tanh ⁡ x + C

Mais uma vez a manipulação facilitando nosso trabalho aí!

Se ficar com alguma dúvida, é só chamar!