Achar o valor da derivada da função f(x) = 1 / x no ponto x = x0 (x0 ≠ 0) .

Passo 1

Lembrando a definição da derivada pelo limite, temos:

y^' = underset(Delta x -> 0)(lim) (Delta y)/(Delta x)

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) ((1)/(x + Delta x) - (1)/(x))/(Delta x)

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) ((x - (x + Delta x))/(x (x + Delta x)))/(Delta x)

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) (x - x - Delta x)/(Delta x (x) (x + Delta x))

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) (- Delta x)/(Delta x ( x ) ( x + Delta x ))

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) (- 1)/(( x ) ( x + Delta x ))

y^' = (- 1)/(x (x + 0))

y^' = - (1)/(x^2)

Passo 2

Agora, para x = x_0 , sendo x_0 != 0 :

y^' (x_0) = - (1)/((x_0)^2)

Resposta

Assim, temos que a derivada da função f (x) = (1)/(x) no ponto x = x_0 é f^' (x_0) = - (1)/((x_0)^2) .

Compreendeu?