Ache a derivada de f(x) = x / raiz(4 - x^2)

Passo 1

Para começar iremos usar a regra do quociente para derivação.

f^' (x) = ((x)^' (sqrt(4 - x^2)) - x (sqrt(4 - x^2))^')/((sqrt(4 - x^2))^2)

Vamos focar na segunda parte do numerador, tendo em vista que a primeira parte é direta

Passo 2

Então vamos lá, queremos (sqrt(4 - x^2))^' .

Temo que usar a regra da cadeia para calcular a derivada.

(sqrt(4 - x^2))^' = (d)/(d x) (4 - x^2)^((1)/(2)) =

= (1)/(2) (4 - x^2)^(- (1)/(2)) (4 - x^2)^' = (- 2 x)/(2 sqrt(4 - x^2)) = (- x)/(sqrt(4 - x^2))

Passo 3

Agora vamos voltar à parte inicial, substituindo o valor achado:

f^' (x) = ((x)^' (sqrt(4 - x^2)) - x (sqrt(4 - x^2))^')/((sqrt(4 - x^2))^2)

f^' (x) = (sqrt(4 - x^2) - x (- (x)/(sqrt(4 - x^2))))/(4 - x^2)

f^' (x) = (sqrt(4 - x^2) + (x^2)/(sqrt(4 - x^2)))/(4 - x^2)

f^' (x) = (4 - x^2 + x^2)/((4 - x^2)^((3)/(2))) = (4)/((4 - x^2)^((3)/(2)))

Resposta

f^' (x) = (4)/((4 - x^2)^((3)/(2)))