Ache a derivada de f(x) = x * raiz(1 + x^2)

Passo 1

Para começar vamos usar a regra da derivação do produto:

f^' (x) = (x)^' (sqrt(1 + x^2)) + x (sqrt(1 + x^2))^'

A primeira parte dessa expressão é bem direta, tendo em vista que a derivada de x é 1. Vamos focar na segunda parte.

Passo 2

Teremos que usar a regra da cadeia para resolver (sqrt(1 + x^2))^' = (d)/(d x) (1 + x^2)^((1)/(2)) =

= (1)/(2) [1 + x^2]^(- (1)/(2)) (1 + x^2)^' = (2 x)/(2 sqrt(1 + x^2)) = (x)/(sqrt(1 + x^2))

Passo 3

Agora vamos voltar para f^' (x) .

f^' (x) = (sqrt(1 + x^2)) + x ((x)/(sqrt(1 + x^2)))

f^' (x) = (sqrt(1 + x^2)) + (x^2)/(sqrt(1 + x^2))

f^' (x) = (2 x^2 + 1)/(sqrt(1 + x^2))

Resposta

f^' (x) = (2 x^2 + 1)/(sqrt(1 + x^2))