Ache a derivada de f(x) = ((1 + x^3) / (1 - x^3))^(1/3)

Passo 1

Bom, para começar essa questão vamos lembrar da regra da cadeia:

( f (g (x))^' = f ' ( g (x) ) * g ' ( x )

Então vamos aplicar essa regra na nossa função.

f^' (x) = (1)/(3) ((1 + x^3)/(1 - x^3))^(- (2)/(3)) ((1 + x^3)/(1 - x^3))^'

Passo 2

Agora só falta acharmos ((1 + x^3)/(1 - x^3))^' , para isso iremos usar a regra do quociente, ficará:

((1 + x^3)/(1 - x^3))^' = ((1 + x^3)^' (1 - x^3) - (1 + x^3) (1 - x^3) ')/((1 - x^3)^2) =

= (3 x^2 (1 - x^3) - ( 1 + x^3 ) ( - 3 x^2 ))/((1 - x^3)^2) =

= (3 x^2 - 3 x^5 + 3 x^2 + 3 x^5)/((1 - x^3)^2)

= (6 x^2)/((1 - x^3)^2)

Passo 3

Agora vamos voltar para f^' (x) e substituir o que achamos acima

f^' (x) = (1)/(3) ((1 + x^3)/(1 - x^3))^(- (2)/(3)) (6 x^2)/((1 - x^3)^2)

Vamos simplificar e logo depois multiplicar por (( 1 + x^3 ))/(( 1 + x^3 )) , para bater com o gabarito proposto no livro, porem vale lembrar que a equação de cima já está certa e é uma resposta

f^' (x) = ((1 + x^3)/(1 - x^3))^(- (2)/(3)) (2 x^2)/((1 - x^3)^2) (( 1 + x^3 ))/(( 1 + x^3 ))

f^' (x) = ((1 + x^3)/(1 - x^3))^((1)/(3)) (2 x^2)/(( 1 - x^6 ))

Resposta

f^' (x) = ((1 + x^3)/(1 - x^3))^((1)/(3)) (2 x^2)/(( 1 - x^6 ))