Ache a derivada de f(x) = 1 / raiz(1 + x^2) / (x + raiz(1 + x^2))

Passo 1

Para resolver essa questão vamos começar a simplificar a expressão, para facilitar nossa vida.

f (x) = (1)/(sqrt(1 + x^2) (x + sqrt(1 + x^2))) * ((sqrt(1 + x^2) - x)/(sqrt(1 + x^2) - x))

Usaremos que a^2 - b^2 = (a - b) (a + b) :

f (x) = (sqrt(1 + x^2) - x)/(sqrt(1 + x^2) ( (1 + x^2 ) - x^2))

f (x) = (sqrt(1 + x^2) - x)/(sqrt(1 + x^2))

f (x) = 1 - (x)/(sqrt(1 + x^2))

Agora fica bem mais fácil para derivarmos

Passo 2

f^' (x) = - ((x)/(sqrt(1 + x^2)))^'

Agora iremos usar a regra do quociente para continuarmos:

f^' (x) = - [((x)^' (sqrt(1 + x^2)) - x (sqrt(1 + x^2))^')/((sqrt(1 + x^2))^2)]

f^' (x) = - [((sqrt(1 + x^2)) - x (sqrt(1 + x^2))^')/((sqrt(1 + x^2))^2)]

Passo 3

Agora basta acharmos (sqrt(1 + x^2))^'

Iremos utilizar a regra da cadeia para achar (sqrt(1 + x^2))^' :

(sqrt(1 + x^2))^' = ( (1 + x^2)^((1)/(2)) ) ' =

= (1)/(2) (1 + x^2)^(- (1)/(2)) (2 x) = x (1 + x^2)^(- (1)/(2))

Com isso, vamos voltar e substituir:

f^' (x) = - [((sqrt(1 + x^2)) - x ( x ((1)/(sqrt(1 + x^2))))/((sqrt(1 + x^2))^2)]

f^' (x) = - [(( 1 + x^2 ) - x^2)/(( sqrt(1 + x^2) ) (sqrt(1 + x^2))^2)]

f^' (x) = - (1)/((1 + x^2)^((3)/(2)))

Resposta

f^' (x) = - (1)/((1 + x^2)^((3)/(2)))