Ache a derivada de f(x) = raiz(x + raiz(x + raiz(x)))

Passo 1

Para começar a questão vamos definir g (x) = sqrt(x + sqrt(x ) ) para facilitar nossas contas.

g^' (x) = (1)/(2 (sqrt(x + sqrt(x)))) (x + sqrt(x))^' =

= (1 + (1)/(2 sqrt(x)))/(2 sqrt((x + sqrt(x))))

= (2 sqrt(x) + 1)/(4 sqrt(x) (sqrt(x + sqrt(x))))

= (2 sqrt(x) + 1)/(4 sqrt(x) (g (x)))

Passo 2

Agora vamos voltar para função inicial e fazer a regra da cadeia, que nos diz:

( f (g (x))^' = f ' ( g (x) ) * g ' ( x )

Passo 3

Vamos voltar agora:

f^' (x) = (sqrt(x + g (x)))^'

f^' (x) = (1)/(2 (sqrt(x + g (x)))) (x + g (x))^'

f^' (x) = ((1 + (2 sqrt(x) + 1)/(4 sqrt(x) (g (x)))))/(2 (sqrt(x + g (x))))

f^' (x) = (4 sqrt(x) (g (x)) + 2 sqrt(x) + 1)/(4 sqrt(x) (g (x)) * ( 2 (sqrt(x + g (x))) ))

Um pouco feio kkkkk, mas agora basta substituir g (x) pelo valor escolhido

Resposta

f^' (x) = (4 sqrt(x) (g (x)) + 2 sqrt(x) + 1)/(4 sqrt(x) (g (x)) * ( 2 (sqrt(x + g (x))) )) , o n d e g (x) = sqrt(x + sqrt(x ) )