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Enunciado

Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 13.2 - Ex. 3a

Ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f ;

f x = ∑ n = 1 + ∞ x n n

Passo 1

Olá galera! Vamos de novo aplicar o teorema da razão l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , para que possamos descobrir o domínio, olha só!!!! não esqueçam de analisar os extremos do nosso raio, isso depois de descobrirmos o valor do raio de convergência R . Ainda no mesmo teorema vale lembrar que se;

  • L   =   0 ela será convergente para todos os de x
  • L = +   ∞ (exceto quando x = a)
  • L   <   1 para x 1 < x < x 2 , por analise poderemos dizer o domínio da nossa serie

Estão prontos pra fazer o limite!!

BORA LÁÁÁÁÁ?

Passo 2

Vamos primeiro determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = x n n

u n + 1 = x n + 1 n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x n + 1 n + 1 x n n = l i m n → ∞ x n + 1 n + 1 ⋅ n x n

= l i m n → ∞ n n + 1 ⋅ x n + 1 x n

= l i m n → ∞ n n + 1 x = x

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

É importante notar que a série é absolutamente convergente quando o x < 1 , que por ventura o raio de convergência é igual a 1. Assim devemos considerar o intervalo - 1 < x < 1 . Através disso, vamos analisar a série de acordo com a serie apresentadas onde.

x = 1 : f 1 = ∑ n = 1 + ∞ 1 n converge pelo teste da série alternada.

x = 1 : f - 1 = - ∑ n = 1 + ∞ 1 n como é uma serie harmônica que é divergente.

Portanto o domínio de f é ( - 1 ; 1 ]

Então é isso pessoal espero que tenham compreendido!!!!

Até a próxima pessoal ☺

Resposta

[ - 1 ; 1 ]