Enunciado

Ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f ;

f x = ∑ n = 2 + ∞ x - 2 n n - 1

Passo 1

Olá galera! Vamos de novo aplicar o teorema da razão l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , para que possamos descobrir o domínio, olha só!!!! não esqueçam de analisar os extremos do nosso raio, isso depois de descobrirmos o valor do raio de convergência R . Ainda no mesmo teorema vale lembrar que se;

  • L   =   0 ela será convergente para todos os de x
  • L = +   ∞ (exceto quando x = a)
  • L   <   1 para x 1 < x < x 2 , por analise poderemos dizer o domínio da nossa serie

Estão prontos pra fazer o limite!!

BORA LÁÁÁÁÁ?

Passo 2

Vamos primeiro determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = x - 2 n n - 1

u n + 1 = x - 2 n + 1 n

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x - 2 n + 1 n x - 2 n n - 1 = l i m n → ∞ x - 2 n + 1 n ∙ n - 1 x - 2 n

= l i m n → ∞ x - 2 n + 1 x - 2 n ⋅ n - 1 n

= l i m n → ∞ n - 1 n ⋅ x - 2 = l i m n → ∞ n - 1 n ⋅ x - 2 = x - 2

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

É importante notar que a série é absolutamente convergente quando o x - 2 < 1 , que por ventura o raio de convergência é igual a 1. Agora vamos desenvolver a desigualdade para descobrir o intervalo x - 2 < 1 → - 1 + 2 < x < 1 → 1 < x < 3 . Através disso agora vamos analisar os extremos da série de acordo com.

f 1 = ∑ n = 2 + ∞ - 1 n n - 1 converge pelo teste da série alternada, portanto 1 pertence ao domínio de f

f 3 = - ∑ n = 2 + ∞ 1 n é divergente em comparação com p-serie com p = 1 2 , logo; 3 não pertence ao domínio de f

Daí galerinha é só correr para o abraço!!! Por que o domínio de f é [ 1 ; 3 )

Então é isso pessoal espero que tenham compreendido!!!!

Até a próxima pessoal ☺

Resposta

[ 1 ; 3 )

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