Responde Aí

Enunciado

Ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f ;

f x = ∑ n = 0 + ∞ x 2 n n ! 2

Passo 1

Olá galera! Vamos de novo aplicar o teorema da razão l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , para que possamos descobrir o domínio, olha só!!!! não esqueçam de analisar os extremos do nosso raio, isso depois de descobrirmos o valor do raio de convergência R . Ainda no mesmo teorema vale lembrar que se;

  • L   =   0 ela será convergente para todos os de x
  • L = +   ∞ (exceto quando x = a)
  • L   <   1 para x 1 < x < x 2 , por analise poderemos dizer o domínio da nossa serie

Estão prontos pra fazer o limite!!

BORA LÁÁÁÁÁ?

Passo 2

Vamos primeiro determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = x 2 n n ! 2

u n + 1 = x 2 n + 2 ( n + 1 ) ! 2

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x 2 n + 2 ( n + 1 ) ! 2 x 2 n n ! 2 = l i m n → ∞ x 2 n + 2 ( n + 1 ) ! 2 ∙ n ! 2 x 2 n

= l i m n → ∞ n ! n + 1 ! 2 ⋅ x 2 n + 2 x 2 n = l i m n → ∞ n ! n + 1 ⋅ n ! 2 ⋅ x 2 = l i m x → ∞ 1 n + 1 x 2 = 0

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Então galera, o limite é 0 (zero)para todos os valores de x , pelo teste podemos concluir que a série é absolutamente para todos os valores de x , assim o intervalo é convergente é - ∞ , + ∞

Espero que tenham compreendido!!!!

Até a próxima pessoal ☺

Resposta

- ∞ , + ∞