Enunciado

Ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f ;

f x = ∑ n = 1 + ∞ ( n + 1 ) ( 3 x - 1 ) n

Passo 1

Olá galera! Vamos de novo aplicar o teorema da razão l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , para que possamos descobrir o domínio, olha só!!!! não esqueçam de analisar os extremos do nosso raio, isso depois de descobrirmos o valor do raio de convergência R . Ainda no mesmo teorema vale lembrar que se;

  • L   =   0 ela será convergente para todos os de x
  • L = +   ∞ (exceto quando x = a)
  • L   <   1 para x 1 < x < x 2 , por analise poderemos dizer o domínio da nossa serie

Estão prontos pra fazer o limite!!

BORA LÁÁÁÁÁ?

Passo 2

Vamos primeiro determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = ( n + 1 ) ( 3 x - 1 ) n

u n + 1 = ( n + 2 ) ( 3 x - 1 ) n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ ( n + 2 ) ( 3 x - 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ( 3 x - 1 ) n = l i m n → ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) ⋅ ( 3 x - 1 )

= l i m n → ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) ( 3 x - 1 ) = ( 3 x - 1 )

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

É importante notar que a série é absolutamente convergente quando o ( 3 x - 1 ) < 1 , que por ventura o raio de convergência é igual a 1 3 . Agora vamos desenvolver a desigualdade para descobrir o intervalo ( 3 x - 1 ) < 1 → - 1 + 1 < 3 x < 1 + 1 → 0 < x < 2 3 . Através disso agora vamos analisar os extremos da série de acordo com.

3 x - 1 = ± 1 ∑ n = 1 + ∞ ± 1 n ( n + 1 ) é divergente por que o l i m n → ∞ ( n + 1 )   ≠   0 .

Daí galerinha é só correr para o abraço!!! Por que o domínio de f é ( 0 ; 2 3 )

Então é isso pessoal espero que tenham compreendido!!!!

Até a próxima pessoal ☺

Resposta

( 0 ; 2 3 )

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