Ache uma solução de estado estacionário   Ψ ' ' ( x ) se a haste do problema 7 é semi-infinita, prolongando-se na direção x positiva, irradia calor de sua superfície lateral para um meio ambiente à temperatura zero e

k d 2 u d x 2 - h u - u 0 = d u d t ,               0 < x < 1 ,     t > 0

u 0 , t = 0   ,       u 1 , t = 0   ,       t > 0    

u x , 0 = f ( x ) ,     0 < x < 1

u 0 , t = u 0 ,                   lim x → ∞ ⁡ u x , t = 0 ,         t > 0

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão ele pede para determinar o estado estacionário   Ψ ' ' ( x ) para o haste,

k d 2 u d x 2 - h u - u 0 = d u d t ,               0 < x < 1 ,     t > 0

u 0 , t = 0   ,       u 1 , t = 0   ,       t > 0    

u x , 0 = f ( x ) ,     0 < x < 1

u 0 , t = u 0 ,                   lim x → ∞ ⁡ u x , t = 0 ,         t > 0

Lembrando que para derivadas parciais devemos saber que

k d 2 u d x 2 + r = d u d t  

Sendo,

u 0 , t = x 0 . t t = k 1

u L , t = x L . t t = k 2

Passo 2

Sabendo que,

k d 2 u d x 2 - h u - u 0 = d u d t ,               0 < x < 1 ,     t > 0

u 0 , t = 0   ,       u 1 , t = 0   ,       t > 0    

u x , 0 = f ( x ) ,     0 < x < 1

u 0 , t = u 0 ,                   lim x → ∞ ⁡ u x , t = 0 ,         t > 0

Para,

k d 2 u d x 2 - h ( u - u 0 ) = d u d t  

k   Ψ ' ' + r = 0         o u     Ψ ' ' = - r k

lim x → ∞ ⁡ u x , t = 0  

u 0 , t = v 0 , t .   Ψ ' ' 0 = u 0

u 1 , t = v ( 1 , t ) . Ψ ' ' 1 = 0

Ficando com,

Ψ ' ' x = l i m x → ∞ 1 - sin ⁡ h   h k x sin ⁡ h   h k

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

Ψ ' ' x = l i m x → ∞ 1 - sin ⁡ h   h k x sin ⁡ h   h k