Ache o volume do sólido dado.

Passo 1

Falaaaa ai pessoal tudo blz?

Nesta questão ele pede para acharmos o volume dos sólidos acima do plano polar, pelo cone z = 2 r e pelo cilindro r = 1 - cos theta

Sabendo que a coordenada de um cilindro e de um cone é x^2 + y^2 = r

E que a mudança de variável vai ter,

x = r c o s theta , y = r s i n theta com z = z , J = r

Passo 2

Com isso vamos ter que, Z vai variar de 0 ate 2r

int_0^(2 pi) int_0^1 int_0^(2 ( 1 - cos theta )) r d z d r d theta = int_0^(2 pi) int_0^1 r . z d r d theta = int_0^(2 pi) int_0^1 2 r ( 1 - cos theta ) d r d theta = int_0^(2 pi) int_0^1 2 r - 2 rcos theta d r d theta = int_0^(2 pi) (2 r^2)/(2) - (2 r^2 - cos theta)/(2) d theta = int_0^(2 pi) r^2 - r^2 cos theta │_0^1 d theta = int_0^(2 pi) 1 - cos theta d theta = theta - sin theta │_0^(2 pi) = 2 pi - sin 2 pi = 2 pi

Resposta

2 pi