Ache o volume do sólido dado.

Passo 1

Falaaaa ai pessoal tudo blz?

Nesta questão ele pede para acharmos o volume dos sólidos na esfera z^2 + r^2 = 4 pelo cilindro r = 1

Sabendo que a a mudança para coordenada esfericas e igual a x^2 + y^2 + z^2 = rho^2 e para o cilindro vai valer x^2 + y^2 = r^2

Lembrando que o jacobiano da esfera vale J = rho^2 sin phi

Passo 2

A partir dos dados nos dado vamos ter que a variação de z vai ser

r = sqrt(4 - z^2) -> r = 2 - z -> z = 1

int_0^(2 pi) int_0^(pi) int_0^1 rho^2 sin phi d rho d phi d theta

int_0^(2 pi) int_0^(pi) (rho^3)/(3) │_0^1 sin phi d phi d theta = int_0^(2 pi) int_0^(pi) ([ sin phi ])/(3) d phi d theta = int_0^(2 pi) - (cos phi)/(3) │_0^(pi) = int_0^(2 pi) (1)/(3) d theta = (2 pi)/(3)

Resposta

(2 pi)/(3)