Ache o volume do sólido dado.

Passo 1

Falaaaa ai pessoal tudo blz?

Nesta questão ele pede para acharmos o volume dos sólidos na esfera z^2 + r^2 = 16 pelo cilindro r = 4 cos theta

Sabendo que a a mudança para coordenada esfericas e igual a x^2 + y^2 + z^2 = rho^2 e para o cilindro vai valer x^2 + y^2 = r^2

Lembrando que o jacobiano da esfera vale J = rho^2 sin phi

Passo 2

A partir dos dados nos dado vamos ter que a variação de z vai ser

z = sqrt(16 - r^2) -> z = 4 - r

int_0^(2 pi) int_0^(pi) int_0^(4 - r) rho^2 sin phi d rho d phi d theta

int_0^(2 pi) int_0^(pi) (rho^3)/(3) │_0^(4 - r) sin phi d phi d theta = int_0^(2 pi) int_0^(pi) ([4 - r]^3)/(3) d phi d theta

E na circunferencia

int_0^(2 pi) int_0^1 (r^3)/(3) d theta = int_0^(2 pi) (1)/(3) d theta = (2 pi)/(3)

Realizando a diminuição

int_0^(2 pi) int_0^(pi) ([4 - r]^3)/(3) d phi d theta - (2 pi)/(3) = (128)/(9) ( 3 pi - 4 )

Resposta

(128)/(9) ( 3 pi - 4 )