Ache o volume do sólido dado.

Passo 1

Falaaaa ai pessoal tudo blz?

Nesta questão ele pede para acharmos o volume dos sólidos pelo elipsoide z^2 + 9 r^2 = 9

Passo 2

Nesta questão antes de realizarmos a mudança de variavel para coordenadas polares temos que lembrar que

(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) + (z^2)/(c^2) = 1

x = a r sin phi cos theta

y = b r sin phi sin theta

z = c r cos phi

J = a b c r^2 sin phi

Com isso vamos ter que,

z^2 + 9 r^2 = 9

z^2 = 9 - 9 r^2

z = sqrt(9 - 9 r^2) = 3 - 3 r

int_0^(2 pi) int_0^(pi) int_0^(3 - 3 r) r^2 sin phi d rho d phi d theta = int_0^(2 pi) int_0^(pi) (r^3)/(3) sin phi │_0^(3 - 3 r) = int_0^(2 pi) int_0^(pi) ((3 - 3 r)^3)/(3) sin phi d theta d phi = 4 pi

Resposta

4 pi