a.Determine todos pontos x tais que f'x=  0

b.Analisar o sinal de f' e determinar os intervalos em que f é monótona

c.Analisar o sinal de f'' e determinar os intervalos em que f' é monótona

d.Traçar o gráfico de f.

f(x) = sen^2(x)

Passo 1

a.Para começar, vamos derivar f.

f ' x = 2 s e n x c o s x = s e n 2 x

Ou seja, f ' x = 0   ↔ x = k π 2 ,   k   ∈ Z

b.

Lembrando que o seno é positivo nos 2 quadrantes de cima, no círculo trigonométrico, ou seja, de 0 até π de 2 π   a t é   3 π e assim vai, ou seja:

Lembrando que estamos falando do sen(2x), cuidado para não se confundir com isso, você pode fazer os intervalos para senx e depois dividir por 2, daria no mesmo.

f ' x > 0   s e   k π < x < k + 1 2 π ,   c a s o   f   c r e s c e n t e  

f ' x < 0   s e   k - 1 2 π < x < k π ,   c a s o   f   d e c r e s c e n t e

Esse ± 1 2   r e p r e n t a   s a i r   d e   u m   p o n t o   k π   e   a n d a r   m a i s   m e i o   π , porém como está multiplicado por 2 (sen2x) você andará π

Passo 2

c.Derivando novamente:

f ' ' x = s e n 2 x ' = 2 c o s 2 x

Lembrando que cosx é positivo no primeiro e terceiro quadrante do círculo trigonométrico, ou seja:

f ' ' x > 0   p a r a   k - 1 4 π < x < k + 1 4 π ,   c a s o   f ' c r e s c e n t e

f ' ' x < 0   p a r a   n + 1 4 π < x < n + 3 4 π ,   c a s o   f ' d e c r e s c e n t e

Passo 3

d.

Resposta

a.

f ' x = 0   ↔ x = k π 2 ,   k   ∈ Z

b.

f ' x > 0   s e   k π < x < k + 1 2 π ,   c a s o   f   c r e s c e n t e  

f ' x < 0   s e   k - 1 2 π < x < k π ,   c a s o   f   d e c r e s c e n t e

c.

f ' ' x > 0   p a r a   k - 1 4 π < x < k + 1 4 π ,   c a s o   f ' c r e s c e n t e

f ' ' x < 0   p a r a   n + 1 4 π < x < n + 3 4 π ,   c a s o   f ' d e c r e s c e n t e