a.Determine todos pontos x tais que f'x=  0

b.Analisar o sinal de f' e determinar os intervalos em que f é monótona

c.Analisar o sinal de f'' e determinar os intervalos em que f' é monótona

d.Traçar o gráfico de f.

f(x) = x + 1 / (x^2)

Passo 1

a.Vamos derivar a equação:

f ' x = 1 + x - 2 ' = 1 - 2 x 3

f ' x = x 3 - 2 x 3

f ' x = 0   ↔ x = 2 3

b. Para analisar o sinal de f ' vamos pensar primeiro no numerador:

x 3 - 2 > 0   p a r a   x > 2 3

x 3 - 2 < 0   p a r a   x < 2 3

Agora vamos unir isso ao fato do denominador ser do tipo

x 3 > 0   p a r a   x > 0   e   x 3 < 0   p a r a   x < 0

Juntando as 2 informações:

f ' x > 0   p a r a   x < 0   e   x > 2 3   ,   c a s o   f   c r e s c e n t e

f ' x < 0   p a r a   0 < x < 2 3   f   d e c r e s c e n t e

Passo 2

c.Vamos derivar novamente a função para analisarmos:

f ' ' x = 1 - 2 x 3   ' =   - 2 x - 3 ' = 6 x - 4 = 6 x 4

Ou seja, f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ,   e n t ã o   f ' c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x   e   i n d e f i n i d a   e m   x = 0

Passo 3

d.

Resposta

a.

f ' x = 0   ↔ x = 2 3

b.

f ' x > 0   p a r a   x < 0   e   x > 2 3   ,   c a s o   f   c r e s c e n t e

f ' x < 0   p a r a   0 < x < 2 3   f   d e c r e s c e n t e

c.

f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ,   e n t ã o   f ' c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x   e   i n d e f i n i d a   e m   x = 0