a.Determine todos pontos x tais que f'x=  0

b.Analisar o sinal de f' e determinar os intervalos em que f é monótona

c.Analisar o sinal de f'' e determinar os intervalos em que f' é monótona

d.Traçar o gráfico de f.

f(x) = 2 + (x - 1)^4

Passo 1

a.Vamos derivar a equação para começarmos a resolver:

f ' x = 4 x - 1 3 x - 1 ' = 4 x - 1 3

Ou seja:

f ' x = 0   p a r a   x = 1

b.Para analisar o sinal, basta olhar dentro dos parênteses:

f ' x > 0   p a r a   x > 1   e n t ã o   f   c r e s c e n t e  

f ' x < 0   p a r a   x < 1   ,   e n t ã o   f   d e c r e s c e n t e

Passo 2

c.Vamos derivar novamente para acharmos a segunda derivada:

f ' ' x = 4 3 x - 1 2 x - 1 ' = 12 x - 1 2

Veja que f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x , pois temos um valor positivo vezes outro valor sempre positivo, logo f ' x   é   c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x

Passo 3

d.

Resposta

a. f ' x = 0   p a r a   x = 1

b.

f ' x > 0   p a r a   x > 1 - c a s o   f   c r e s c e n t e  

f ' x < 0   p a r a   x < 1 - f   d e c r e s c e n t e  

c.

f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x - f ' x   c r e s c e n t e   p a r a   t o d o   x