a.Determine todos pontos x tais que f'x=  0

b.Analisar o sinal de f' e determinar os intervalos em que f é monótona

c.Analisar o sinal de f''  e determinar os intervalos em que f' é monótona

d.Traçar o gráfico de f.

f(x) = x^3 - 4x

Passo 1

Para fazer o primeiro item vamos começar pela derivada de f :

f ' x = 3 x 2 - 4

Igualando a zero achamos f ' x = 0   ↔ x =   ± 2 3

Vamos agora para letra b, analisar o sinal de f ' :

f ' é uma parábola com concavidade para cima, como sabemos as raízes podemos afirmar que:

f ' x > 0   p a r a   x > 2 3   e   x <   - 2 3

Nesse caso temos que f é crescente

Além disso:

f ' x < 0   p a r a - 2 3 < x < 2 3

Nesse caso f   é decrescente

Passo 2

Para o item c vamos achar a segunda derivada:

f ' ' x = 6 x

Logo, para x > 0   t e m o s   f ' ' > 0   e   x < 0   t e m o s   f ' ' < 0 , no primeiro caso f ' é crescente e no outro decrescente

Passo 3

O gráfico de f é:

Resposta

a. f ' x = 0   p a r a   x = ± 2 4

b. f ' x > 0   p a r a   x > 2 3   e   x <   - 2 3   ( c a s o   f   c r e s c e n t e )

f ' x < 0   p a r a - 2 3 < x < 2 3 ( c a s o   f   d e c r e s c e n t e )

c.

x > 0   e n t ã o   f ' ' > 0   f '   c r e s c e n t e

x < 0   e n t ã o     f ' ' < 0 ( f '   d e c r e s c e n t e )