a.Determine todos pontos x tais que f'x=  0

b.Analisar o sinal de f' e determinar os intervalos em que f é monótona

c.Analisar o sinal de f'' e determinar os intervalos em que f' é monótona

d.Traçar o gráfico de f.

f(x) = x^3 - 6*x^2 + 9*x + 5

Passo 1

a.Derivando a função dada:

f ' x = 3 x 2 - 12 x + 9

Igualando a zero temos:

0 = 3 x 2 - 12 x + 9

Por bhaskara achamos x = 1   e   x = 3   s o l u ç õ e s  

b.A equação de f ' é uma parábola com concavidade para cima, ou seja:

f ' x > 0   p a r a   x < 1   e   x > 3 ,   c a s o   f   c r e s c e n t e

f ' x < 0   p a r a   1 < x < 3 ,   c a s o   f   d e c r e s c e n t e

Passo 2

c.Vamos derivar novamente para achar a segunda derivada de f:

f ' ' x = 6 x - 12

Ou seja, uma reta crescente, passando pelo eixo x em x=2 (raíz), então:

f ' ' x > 0   p a r a   x > 2 ,   c a s o   f ' c r e s c e n t e  

  f ' ' x < 0   p a r a   x < 2 ,   c a s o   f ' d e c r e s c e n t e

Passo 3

d.

Resposta

a. f ' x = 0   p a r a   x = 1   e   x = 3

b.

f ' x > 0   p a r a   x < 1   e   x > 3 ,   c a s o   f   c r e s c e n t e

f ' x < 0   p a r a   1 < x < 3 ,   c a s o   f   d e c r e s c e n t e

c. f ' ' x > 0   p a r a   x > 2 ,   c a s o   f ' c r e s c e n t e  

  f ' ' x < 0   p a r a   x < 2 ,   c a s o   f ' d e c r e s c e n t e