a.Determine todos pontos x tais que f'x=  0

b.Analisar o sinal de f' e determinar os intervalos em que f é monótona

c.Analisar o sinal de f'' e determinar os intervalos em que f' é monótona

d.Traçar o gráfico de f.

f x = x - 1 2 ( x + 2 )

Passo 1

a.Vamos derivar f, usando a regra do produto e da cadeia:

f ' x = x - 1 2 ' x + 2 + x + 2 ' x - 1 2

f ' x = 2 x - 1 x + 2 + x - 1 2

f ' x = 3 ( x 2 - 1 )  

Ou seja, para x =   ±   1 ,   f ' x = 0

Passo 2

b. f ' tem o sinal determinado pela parábola x 2 - 1 , logo:

f ' > 0   p a r a   x < - 1   e   x > 1 ,   n e s s e   c a s o   f   c r e s c e n t e

f ' < 0   p a r a - 1 < x < 1 ,   n e s s e   c a s o   f   d e c r e s c e n t e

Passo 3

c. Vamos derivar novamente para achar a segunda derivada:

f ' ' x = 3 2 x = 6 x

f ' ' x > 0   p a r a   x > 0 ,   n e s s e   c a s o   f ' c r e s c e n t e

f ' ' x < 0   p a r a   x < 0 ,   n e s s e   c a s a   f ' d e c r e s c e n t e

d.

Resposta

a. f ' x = 0   p a r a   x = ± 1

b.

f ' > 0   p a r a   x < - 1   e   x > 1 ,   n e s s e   c a s o   f   c r e s c e n t e    

f ' < 0   p a r a - 1 < x < 1 ,   n e s s e   c a s o   f   d e c r e s c e n t e  

c. f ' ' x > 0   p a r a   x > 0 ,   n e s s e   c a s o   f ' c r e s c e n t e

f ' ' x < 0   p a r a   x < 0 ,   n e s s e   c a s a   f ' d e c r e s c e n t e