a.Determine todos pontos x tais que f'x=  0

b.Analisar o sinal de f' e determinar os intervalos em que f é monótona

c.Analisar o sinal de f'' e determinar os intervalos em que f' é monótona

d.Traçar o gráfico de f.

f(x) = (x^2 - 4) / (x^2 - 9)

Passo 1

a.Derivando a equação dada:

f ' x = x 2 - 4 ' x 2 - 9 - ( x 2 - 9 ) ' ( x 2 - 4 ) x 2 - 9 2

f ' x = 2 x x 2 - 9 - 2 x ( x 2 - 4 ) x 2 - 9 2

f ' x = - 10 x x 2 - 9 2  

Ou seja, f ' x = 0   ↔ x = 0

b.Para analisar o sinal de f ' basta olhar o numerador

f ' x > 0   p a r a   x < 0 ,   c a s o   f   c r e s c e n t e

f ' x < 0   p a r a   x > 10 ,   c a s o   f   d e c r e s c e n t e

Passo 2

c.Vamos derivar novamente a equação:

f ' ' x = - 10 x ' x 2 - 9 2 - ( x 2 - 9 2 ) ' ( - 10 x ) x 2 - 9 4

f ' ' x =   - 10 x 2 - 9 2 - ( 2 x 2 - 9 2 x - 10 x ) x 2 - 9 4  

f ' ' x = - 10 x 2 - 9 + 40 x 2 x 2 - 9 3

f ' ' x = 30 x 2 + 90 x 2 - 9 3

Como o numerador é sempre maior do que zero, basta analisarmos o sinal do denominador:

f ' ' x > 0   p a r a   x < - 3   e   x > 3 ,   c a s o   f ' c r e s c e n t e

f ' ' x < 0   p a r a - 3 < x < 3 ,   c a s o   f ' d e c r e s c e n t e

Passo 3

d.

Resposta

a.

f ' x = 0   ↔ x = 0

b.

f ' x > 0   p a r a   x < 0 ,   c a s o   f   c r e s c e n t e

f ' x < 0   p a r a   x > 10 ,   c a s o   f   d e c r e s c e n t e

c.

f ' ' x > 0   p a r a   x < - 3   e   x > 3 ,   c a s o   f ' c r e s c e n t e

f ' ' x < 0   p a r a - 3 < x < 3 ,   c a s o   f ' d e c r e s c e n t e