a.Determine todos pontos x tais que f'x=  0

b.Analisar o sinal de f' e determinar os intervalos em que f é monótona

c.Analisar o sinal de f'' e determinar os intervalos em que f' é monótona

d.Traçar o gráfico de f.

f x = 1 ( x - 1 ) ( x - 3 )

Passo 1

a.Vamos derivar a equação:

f ' x = - x - 1 x - 3 ' x - 1 2 x - 3 2

f ' x = - ( x - 1 ' x - 3 + x - 1 x - 3 ' ) x - 1 2 x - 3 2  

f ' x = - x - 3 - ( x - 1 ) x - 1 2 x - 3 2 = - 2 x + 4 x - 1 2 x - 3 2

f ' x = 0   ↔ x = 2

b. O denominador da função não muda de sinal (sempre positivo), então basta analisarmos o sinal de - 2 x + 4

- 2 x + 4 é uma reta decrescente que corta o eixo x em x=2, logo:

f ' x > 0   p a r a   x < 2 ,   c a s o   f   c r e s c e n t e

f ' x < 0   p a r a   x > 2 - c a s o   f   d e c r e s c e n t e

Passo 2

c. Vamos derivar novamente a equação:

f ' ' x = - 2 x + 4 ' x - 1 2 x - 3 2 - ( x - 1 2 x - 3 2 ) ' ( - 2 x + 4 ) x - 1 4 x - 3 4  

Usaremos que:

d x - 1 2 x - 3 2 d x = 4 x 3 - 24 x 2 + 44 x - 24

f ' ' x = - 2 x - 1 2 x - 3 2 - ( - 2 x + 4 ) ( 4 x 3 - 24 x 2 + 44 x - 24 ) x - 1 4 x - 3 4

f ' ' x = 2 ( 3 x 2 - 12 x + 13 ) x - 1 3 x - 3 3

f ' ' x = 1 x - 3 3 - 1 x - 1 3

f ' ' x > 0   p a r a   x < 1   e   x > 3 ,   c a s o   f ' c r e s c e n t e

f ' ' x < 0   p a r a   1 < x < 3 ,   c a s o   f ' d e c r e s c e n t e

Passo 3

d.

Resposta

a.

f ' x = 0   ↔ x = 2

b.

f ' x > 0   p a r a   x < 2 ,   c a s o   f   c r e s c e n t e

f ' x < 0   p a r a   x > 2 - c a s o   f   d e c r e s c e n t e

c.

f ' ' x > 0   p a r a   x < 1   e   x > 3 ,   c a s o   f ' c r e s c e n t e

f ' ' x < 0   p a r a   1 < x < 3 ,   c a s o   f ' d e c r e s c e n t e