a.Determine todos pontos x tais que f'x=  0

b.Analisar o sinal de f' e determinar os intervalos em que f é monótona

c.Analisar o sinal de f'' e determinar os intervalos em que f' é monótona

d.Traçar o gráfico de f.

f x = x 1 + x 2

Passo 1

a.Vamos derivar a função:

f ' x = x ' 1 + x 2 - x ( 1 + x 2 ) ' 1 + x 2 2

f ' x = 1 + x 2 - 2 x 2 1 + x 2 2

f ' x = 1 - x 2 1 + x 2 2

Ou seja:

f ' x = 0   ↔ x = ± 1

b.Como o denominador é sempre positivo vamos analisar o numerador: 1 - x 2 é uma parábola com raízes já citadas, com concavidade para baixo, ou seja:

f ' x > 0   p a r a - 1 < x < 1   ,   c a s o   f   c r e s c e n t e

f ' x < 0   p a r a   x < - 1   e   x > 1 ,   c a s o   f   d e c r e s c e n t e

Passo 2

c.Vamos derivar novamente a equação:

f ' ' x = 1 - x 2 ' 1 + x 2 2 - ( 1 + x 2 2 ) ' ( 1 - x 2 ) 1 + x 2 4

Usando que:

1 + x 2 2 ) ' = 2 ( 1 + x 2 ) ( 2 x )

Então:

f ' ' x = - 2 x 1 + x 2 2 - ( 1 - x 2 2 ( 1 + x 2 ) ( 2 x ) ) 1 + x 2 4

f ' ' x = - 2 x 1 + x 2 - ( 1 - x 2 ) ( 2 ) ( 2 x ) 1 + x 2 3

f ' ' x = 2 x ( - 1 - x 2 - 2 + 2 x 2 ) 1 + x 2 3

f ' ' x = 2 x ( - 3 + x 2 ) 1 + x 2 3

Como o denominador é sempre maior do que zero, basta analisar o numerador

2 x > 0   p a r a   x > 0   e   2 x < 0   p a r a   x < 0

x 2 - 3 > 0   p a r a   x < - 3   e   x > 3

x 2 - 3 < 0   p a r a - 3 < x < 3  

Unindo as informações:

f ' ' x > 0   p a r a   x > 3   e - 3 < x < 0 ,   c a s o   f ' c r e s c e n t e

f ' ' x < 0   p a r a   x < - 3   e   0 < x < 3 ,   c a s o   f ' d e c r e s c e n t e

Passo 3

d.

Resposta

a.

f ' x = 0   ↔ x = ± 1

b.

f ' x > 0   p a r a - 1 < x < 1   ,   c a s o   f   c r e s c e n t e

f ' x < 0   p a r a   x < - 1   e   x > 1 ,   c a s o   f   d e c r e s c e n t e

c.

f ' ' x > 0   p a r a   x > 3   e - 3 < x < 0 ,   c a s o   f ' c r e s c e n t e

f ' ' x < 0   p a r a   x < - 3   e   0 < x < 3 ,   c a s o   f ' d e c r e s c e n t e