Um agricultor deseja cercar uma pastagem retangular de área A, adjacente a uma longa parede de pedra. Quais as dimensões convenientes de modo a gastar o menos possível de rede.
Passo 1
Considerando o retângulo com dimensões ‘‘x’’ para a base e ‘‘y’’ para a altura, temos que:
Porém, como o agricultor fará a cerca ao lado de uma longa parede de pedra, um dos lados do retângulo (um lado da base, que é o maior lado do retângulo, também chamado de comprimento) não necessitará de cerca, ou seja, não entrará na nossa conta do gasto de rede para cobrir o perímetro do retângulo.
Considerando que o agricultor dispõe de L metros de rede, o perímetro desse retângulo que necessitará de corda (ou seja, a soma de todos os lados – o lado da parede) terá que valer L. Assim,
Além disso, a questão determina que a área da pastagem retangular vale A, logo:
Substituindo em L, temos:
Passo 2
Como queremos usar o menos possível de rede, precisamos derivar a função L em relação a um dos lados e igualar a zero (é análogo fazer para x ou para y). Dessa forma, acharemos o L mínimo para essa situação matemática. Assim,
Derivando,
Igualando a zero para achar o ‘‘L’’ mínimo,
Como temos que A = x.y,
Resposta
Ou seja,