Um agricultor deseja cercar uma pastagem retangular de área A, adjacente a uma longa parede de pedra. Quais as dimensões convenientes de modo a gastar o menos possível de rede.

Passo 1

Considerando o retângulo com dimensões ‘‘x’’ para a base e ‘‘y’’ para a altura, temos que:

P = 2 x + 2 y     e   A = x . y

Porém, como o agricultor fará a cerca ao lado de uma longa parede de pedra, um dos lados do retângulo (um lado da base, que é o maior lado do retângulo, também chamado de comprimento) não necessitará de cerca, ou seja, não entrará na nossa conta do gasto de rede para cobrir o perímetro do retângulo.

Considerando que o agricultor dispõe de L metros de rede, o perímetro desse retângulo que necessitará de corda (ou seja, a soma de todos os lados – o lado da parede) terá que valer L. Assim,

P = 2 x + 2 y - x = L → L =   x + 2 y

Além disso, a questão determina que a área da pastagem retangular vale A, logo:

A = x . y → y = A x

Substituindo em L, temos:

L =   x + 2 y → L = x + 2 . A x

Passo 2

Como queremos usar o menos possível de rede, precisamos derivar a função L em relação a um dos lados e igualar a zero (é análogo fazer para x ou para y). Dessa forma, acharemos o L mínimo para essa situação matemática. Assim,

L = x + 2 . A . x - 1

Derivando,

L ' = 1 - 2 . A . x - 2 = 1 - 2 A x 2

Igualando a zero para achar o ‘‘L’’ mínimo,

L ' = 1 - 2 A x 2 = 0 →   1 = 2 A x 2 → x =   2 A

Como temos que A = x.y,

A = x . y → y = A 2 A = A .   2 A 2 A =   2 A 2 →  

y =   2 A 2

Resposta

x =   2 A   e   y =   2 A 2  

Ou seja,

C o m p r i m e n t o =   2 A

L a r g u r a =   2 A 2