Um agricultor dispõe de L metros de rede para cercar uma pastagem de forma retangular, adjacente a uma longa parede de pedra. Que dimensões darão a área máxima da passagem.
Passo 1
Considerando o retângulo com dimensões ‘‘x’’ para a base e ‘‘y’’ para a altura, temos que:
Porém, como o agricultor fará a cerca ao lado de uma longa parede de pedra, um dos lados do retângulo (um lado da base, que é o maior lado do retângulo, também chamado de comprimento) não necessitará de cerca, ou seja, não entrará na nossa conta do gasto de rede para cobrir o perímetro do retângulo.
Como o agricultor só dispõe de L metros de rede, o perímetro desse retângulo que necessitará de corda (ou seja, a soma de todos os lados – o lado da parede) terá que valer L. Assim,
Passo 2
Como queremos que a área do retângulo seja máxima, temos que derivar a área em função de um dos lados e igualar a zero para achar os pontos críticos da função (é análogo fazer para x ou para y). Logo,
Derivando,
Igualando a zero,
Como 2y = L – x, temos:
Resposta
Para maximizar a área da pastagem, precisamos das seguintes dimensões:
Ou seja,
Comprimento = L/2 e Largura = L/4