Um agricultor dispõe de L metros de rede para cercar uma pastagem de forma retangular, adjacente a uma longa parede de pedra. Que dimensões darão a área máxima da passagem.

Passo 1

Considerando o retângulo com dimensões ‘‘x’’ para a base e ‘‘y’’ para a altura, temos que:

P = 2 x + 2 y     e   A = x . y

Porém, como o agricultor fará a cerca ao lado de uma longa parede de pedra, um dos lados do retângulo (um lado da base, que é o maior lado do retângulo, também chamado de comprimento) não necessitará de cerca, ou seja, não entrará na nossa conta do gasto de rede para cobrir o perímetro do retângulo.

Como o agricultor só dispõe de L metros de rede, o perímetro desse retângulo que necessitará de corda (ou seja, a soma de todos os lados – o lado da parede) terá que valer L. Assim,

P = 2 x + 2 y - x = L → x + 2 y = L → y = L - x 2

Passo 2

Como queremos que a área do retângulo seja máxima, temos que derivar a área em função de um dos lados e igualar a zero para achar os pontos críticos da função (é análogo fazer para x ou para y). Logo,

A = x . y = x . L - x 2 → A = x . L - x 2 2  

Derivando,

A ' = L 2 . x 1 - 1 - 2 2 x 2 - 1 = L 2 - x  

Igualando a zero,

A ' = L 2 - x = 0 → L 2 = x → x = L 2

Como 2y = L – x, temos:

2 y = L - x →   2 y = L - L 2 = L 2 → y = L 4

Resposta

Para maximizar a área da pastagem, precisamos das seguintes dimensões:

x = L 2   e   y = L 4

Ou seja,

Comprimento = L/2 e Largura = L/4