Análise a solução y = φ (x) para o problema de valor inicial

usando métodos de aproximação e depois compare com sua

forma exata, como se segue.

(a) Esboce o campo de direção da equação diferencial e

use-o para descobrir o valor de lim x → ∞φ(x).

(b) Use o método de Euler com um tamanho de passo de 0,1

para encontrar uma aproximação de φ(1).

(c) Encontre uma fórmula para φ(x) e represente grafica-

mente φ(x) no campo de direção do item (a).

(d) Qual é o valor exato de φ(1)? Compare com sua aproxi-

mação no item (b).

(e) Usando a solução exata obtida no item (c), determine

lim x → ∞ φ(x) e compare com sua escolha no item (a)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

  1. Esboce o campo de direção da equação diferencial e use-o para adivinhar o valor de lim⁡x→∞ϕ(x). A partir do esboço, vemos que lim⁡x→∞ϕ(x)=1
  2. Passo 2

  3. Use o método de Euler com um passo de 0,1 para encontrar uma aproximação de ϕ(1). Nossas equações de atualização são:
  4. x n + 1   =   x n + h   =   x n + 0.1

    y n + 1   =   y n + 0.1 ( y n 2 - 3 y n + 2 )

    Fazendo nossa aproximação, obtemos:

    y 1 =   y 0 + 0.1 ( y 0 2 - 3 y 0 + 2 )   =   1.475

    y 2   =   1.450

    y 3   =   1.425

    y 4   =   1.401

    y 5 = 1.377

    y 6 = 1.353

    y 7 = 1.331

    y 8 = 1.308  

    y 9 = 1.287

    y 10 = 1.267   ≈   1.287

    Passo 3

  5. Encontre uma fórmula para ϕ(x) e faça o gráfico ϕ(x) no campo de direção da parte. Nas etapas a seguir, encontramos uma solução exata separando x e y. Primeiro, fatoramos o lado direito da equação para obter:
  6. d y d x   =   ( y - 2 ) ( y - 1 )

    d y ( y - 2 ) ( y - 1 ) = d x

    Usamos frações parciais para escrever 1 ( y - 2 ) ( y - 1 ) na forma A y - 2   +   B y - 1 e assim obtermos:

    d y y - 2 + - d y y - 1   =   d x

    Integrando ambos os lados temos:

    l n   |   y   - 2 |   -   l n   | y - 1 |   =   x   +   c

    Substituindo na equação pelo valor inicial y(0)=1.5 para encontrar c temos:

    l n   | 1.5   -   2 |   -   l n   | 1.5 - 1 |   =   c

    c   =   l n   | - 1 2 |   -   l n   | 1 2 |   =   0

    Para encontrar uma solução explícita para y, escrevemos a equação na forma:

    l n y - 2 y - 1   =   x

    Elevando ambos os lados a e, temos:

    | y - 2 y - 1 |   =   e x

    para resolvermos para y, temos que:

    y   - 2   =   ± e x ( y - 1 )   =   ± e x y   + ∓ e x

      y   =   2 ∓ e x 1 + ∓ e x

    Para ter y(0)=1.5, devemos ter:

    y   =   2 + e 0 1 + e 0   =   3 2

    Então escolhemos o sinal ao lado de e x tal que:

    y   =   2 + e x 1 + e x

    Representando isso no gráfico de campo de direção, obtemos:

    Passo 4

  7. Encontre o valor exato de ϕ(1) e compare-o com o valor aproximado calculado usando o método de Euler. Substituindo por x=1 para encontrar ϕ(1) obtemos ϕ(1)= 2 + e 1 + e , com erro igual a 1,2689−1,267=0,0019 do valor aproximado.
  8. Usando a solução exata obtida na parte c, determine l i m x → ∞ ϕ ( x ) e compare com seu palpite na parte a

l i m x → ∞ y   =   2 + e x 1 + e x   =   ∞ ∞

Como esta é uma forma indeterminada, podemos usar a regra de L'Hopital aqui para obter:

l i m x → ∞ y   =   e x e x   =   1

Que é exatamente como assumimos a partir do gráfico de campo de direção.

Resposta

Resposta nos passos.