Análise a solução y = φ (x) para o problema de valor inicial
usando métodos de aproximação e depois compare com sua
forma exata, como se segue.
(a) Esboce o campo de direção da equação diferencial e
use-o para descobrir o valor de lim x → ∞φ(x).
(b) Use o método de Euler com um tamanho de passo de 0,1
para encontrar uma aproximação de φ(1).
(c) Encontre uma fórmula para φ(x) e represente grafica-
mente φ(x) no campo de direção do item (a).
(d) Qual é o valor exato de φ(1)? Compare com sua aproxi-
mação no item (b).
(e) Usando a solução exata obtida no item (c), determine
lim x → ∞ φ(x) e compare com sua escolha no item (a)
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
- Esboce o campo de direção da equação diferencial e use-o para adivinhar o valor de limx→∞ϕ(x). A partir do esboço, vemos que limx→∞ϕ(x)=1
- Use o método de Euler com um passo de 0,1 para encontrar uma aproximação de ϕ(1). Nossas equações de atualização são:
- Encontre uma fórmula para ϕ(x) e faça o gráfico ϕ(x) no campo de direção da parte. Nas etapas a seguir, encontramos uma solução exata separando x e y. Primeiro, fatoramos o lado direito da equação para obter:
- Encontre o valor exato de ϕ(1) e compare-o com o valor aproximado calculado usando o método de Euler. Substituindo por x=1 para encontrar ϕ(1) obtemos ϕ(1)=, com erro igual a 1,2689−1,267=0,0019 do valor aproximado.
- Usando a solução exata obtida na parte c, determine e compare com seu palpite na parte a

Passo 2
Fazendo nossa aproximação, obtemos:
Passo 3
Usamos frações parciais para escrever na forma e assim obtermos:
Integrando ambos os lados temos:
Substituindo na equação pelo valor inicial y(0)=1.5 para encontrar c temos:
Para encontrar uma solução explícita para y, escrevemos a equação na forma:
Elevando ambos os lados a e, temos:
para resolvermos para y, temos que:
Para ter y(0)=1.5, devemos ter:
Então escolhemos o sinal ao lado de tal que:
Representando isso no gráfico de campo de direção, obtemos:

Passo 4
Como esta é uma forma indeterminada, podemos usar a regra de L'Hopital aqui para obter:
Que é exatamente como assumimos a partir do gráfico de campo de direção.
Resposta
Resposta nos passos.