Se |v| = 2, |w| = 3 e o ângulo entre v e w é π / 3 , encontre | v - 2w | .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Lembremos que a multiplicação de um vetor por ele mesmo é igual ao módulo ao quadrado desse vetor:

|A|^2 = A * A

Reescrevendo a equação

|A| = sqrt(A * A) (1)

Usando a equação (1) para encontrar |v - 2 w| , nós temos que

|v - 2 w| = sqrt((v - 2 w) * (v - 2 w))

Desenvolvendo os termos

|v - 2 w| = sqrt((v * v) - 4 v * w + 4 (w * w)) = sqrt(|v|^2 - 4 v * w + 4 |w|^2) ( 2 )

Passo 2

Agora, lembremos que o ângulo entre dois vetores A e B é dado pela seguinte equação:

cos theta = (A * B)/(|A| |B|)

Reescrevendo a equação

A * B = |A| |B| cos theta (3)

Usando (3) em (2), nós temos que

|v - 2 w| = sqrt(|v|^2 - 4 ( | v | * |w| cos theta ) + 4 |w|^2)

Passo 3

Substituindo os valores de |v| , |w| e theta nós temos que

|v - 2 w| = sqrt(2^2 - 4 ((2) (3) cos (pi)/(3)) + 4 (3)^2)

Desenvolvendo os termos

|v - 2 w| = sqrt(4 - 4 (6 * (1)/(2)) + 4 (9)) = sqrt(28)

Simplificando as coisas

|v - 2 w| = sqrt(4) * sqrt(7) = 2 sqrt(7)

Portanto,

|v - 2 w| = 2 sqrt(7)

Resposta

|v - 2 w| = 2 sqrt(7)