Ângulos diretores e cossenos diretores

Os ângulos diretores α, β e γ de um vetor v = ai + bj + ck são definidos da seguinte forma:

α é o ângulo entre v e o eixo x positivo ( 0 ≤ α ≤ π )

β é o ângulo entre v e o eixo y positivo ( 0 ≤ β ≤ π )

γ é o ângulo entre v e o eixo z positivo ( 0 ≤ γ ≤ π )

  1. Mostre que cos ⁡ α = a v ,   cos ⁡ β = b v ,   cos ⁡ γ = c v   e cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1 . Esses cossenos são chamados cossenos diretores de v.
  2. Os vetores unitários são construídos a partir de cossenos diretores

Mostre que, se v = ai + bj + ck é um vetor unitário, então a, b e c são os cossenos diretores de v.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de produto escalar.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 3 sobre ângulos entre vetores.

Item a

Inicialmente podemos escrever:

cos ⁡ α = i ∙ v i v = a v ;   cos ⁡ β = j ∙ v j v = b v ;   cos ⁡ γ = k ∙ v k v = c v

E:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = a v 2 + b v 2 + c v 2 = a 2 + b 2 + c 2 v 2

Calculando o módulo de v:

v = a 2 + b 2 + c 2 = > a 2 + b 2 + c 2 = v 2

Logo:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = a 2 + b 2 + c 2 v 2 = v 2 v 2 = 1

Passo 2

Item b

Para um vetor unitário temos:

v = 1

Como sabemos que:

cos ⁡ α = a v ;   cos ⁡ β = b v ;   cos ⁡ γ = c v

Substituindo o módulo unitário:

cos ⁡ α = a ;   cos ⁡ β = b ;   cos ⁡ γ = c

Ou seja:

a ,   b   e   c   s ã o   o s   c o s s e n o s   d i r e t o r e s   d e   v .

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.