Responde Aí

Enunciado

Calcule a integral iterada.

∫ - 1 1 ∫ 0 2 ∫ 0 1 x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

Passo 1

Fala galera! Vamos iniciar essa questão, dessa vez uma integral tripla.

O cálculo da integral tripla acontece da mesma forma que a integral dupla. Vamos integrar de dentro para fora, ou seja, vamos começar da derivada interna e ir para a externa. Vamos começar.

Passo 2

Primeiramente vamos integrar em x, pois é a derivada mais interna.

∫ - 1 1 ∫ 0 2 ∫ 0 1 x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z = ∫ - 1 1 ∫ 0 2 x 3 3 + x y 2 + x z 2 0 1 d y d z = ∫ - 1 1 ∫ 0 2 1 3 3 + 1 y 2 + 1 z 2 0 1 d y d z = ∫ - 1 1 ∫ 0 2 1 3 + y 2 + z 2 d y d z

Agora vamos integrar em relação a y.

∫ - 1 1 ∫ 0 2 1 3 + y 2 + z 2 d y d z = ∫ - 1 1 y 3 + y 3 3 + y z 2 0 2 d z = ∫ - 1 1 2 3 + 2 3 3 + 2 z 2 0 2 d z = ∫ - 1 1 10 3 + 2 z 2 d z

Por fim, vamos integrar em relação a z.

∫ - 1 1 10 3 + 2 z 2 d z = 10 z 3 + 2 z 3 3 - 1 1 = 10 * 1 3 + 2 ( 1 ) 3 3 - 10 * - 1 3 - 2 - 1 3 3 = 10 3 + 2 3 + 10 3 + 2 3 = 24 3 = 8

Assim, temos que:

∫ - 1 1 ∫ 0 2 ∫ 0 1 x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z = 8

Resposta

8