Calcule a integral iterada.

int_(- 1)^1 int_0^2 int_0^1 (x^2 + y^2 + z^2) d x d y d z

Passo 1

Fala galera! Vamos iniciar essa questão, dessa vez uma integral tripla.

O cálculo da integral tripla acontece da mesma forma que a integral dupla. Vamos integrar de dentro para fora, ou seja, vamos começar da derivada interna e ir para a externa. Vamos começar.

Passo 2

Primeiramente vamos integrar em x, pois é a derivada mais interna.

int_(- 1)^1 int_0^2 int_0^1 (x^2 + y^2 + z^2) d x d y d z = int_(- 1)^1 int_0^2 [((x^3)/(3) + x y^2 + x z^2)]_0^1 d y d z = int_(- 1)^1 int_0^2 [((1^3)/(3) + 1 y^2 + 1 z^2)]_0^1 d y d z = int_(- 1)^1 int_0^2 ((1)/(3) + y^2 + z^2) d y d z

Agora vamos integrar em relação a y.

int_(- 1)^1 int_0^2 ((1)/(3) + y^2 + z^2) d y d z = int_(- 1)^1 [((y)/(3) + (y^3)/(3) + y z^2)]_0^2 d z = int_(- 1)^1 [((2)/(3) + (2^3)/(3) + 2 z^2)]_0^2 d z = int_(- 1)^1 ((10)/(3) + 2 z^2) d z

Por fim, vamos integrar em relação a z.

int_(- 1)^1 ((10)/(3) + 2 z^2) d z = [(10 z)/(3) + (2 z^3)/(3)]_(- 1)^1 = (10 * 1)/(3) + (2 ( 1 )^3)/(3) - (10 * (- 1))/(3) - (2 (- 1)^3)/(3) = (10)/(3) + (2)/(3) + (10)/(3) + (2)/(3) = (24)/(3) = 8

Assim, temos que:

int_(- 1)^1 int_0^2 int_0^1 (x^2 + y^2 + z^2) d x d y d z = 8

Resposta

8