Enunciado

Calcule a integral de superfície

Passo 1

E aí, universitário, tudo beleza?

O primeiro passo para resolvermos essa questão é entender que a integral de superfície dada também pode ser escrita de outra forma, visto que:

  • f x , y , z = z 2
  • z = x 2 + y 2       →       z 2 = x 2 + y 2

Logo, podemos escrever:

∬ ơ   f x , y , z   d S       →       ∬ ơ   f z 2   d S         →           ∬ ơ   ( x 2 + y 2 )   d S  

Passo 2

Podemos parametrizar a equação z para obter o valor de dS, assim:

∬ R   x 2 + y 2 d z d x 2 + d z d y 2 + 1   d A         →       ∬ R   x 2 + y 2 x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1   d A         ( 1 )

Sabendo que z 2 = x 2 + y 2 , podemos considerar o plano z=1 e reescrever 1 = x 2 + y 2 , substituindo na equação (1), temos que

∬ R   x 2 + y 2 x 2 1 + y 2 1 + 1   d A           →     ∬ R   x 2 + y 2 1 + 1   d A         →     2 ∬ R   x 2 + y 2   d A

Passo 3

Sabendo que R é a projeção de σ no plano xy, podemos reescrever a integral dupla obtida como uma integral iterada, desse modo

2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ( r 3 )   d r   d θ    

Aqui basta resolvermos da seguinte forma, primeiro a integral de dentro (dr) e depois a de fora (dθ)

2 ∫ 0 2 π       r 4 4 ⌉ 1 2   d θ       =         2 ∫ 0 2 π       15 4   d θ     =         2       15 4 θ ⌉ 0 2 π =     15 2 π   2

Resposta

  15 2 π   2

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