Calcule a integral de superfície

Passo 1

E aí, universitário, tudo beleza?

O primeiro passo para resolvermos essa questão é entender que a integral de superfície dada também pode ser escrita de outra forma, visto que:

  • f (x , y , z) = z^2
  • z = sqrt(x^2 + y^2) -> z^2 = x^2 + y^2

Logo, podemos escrever:

∬_ơ^() f (x , y , z) d S -> ∬_ơ^() f (z^2) d S -> ∬_ơ^() ( x^2 + y^2 ) d S

Passo 2

Podemos parametrizar a equação z para obter o valor de dS, assim:

∬_R^() (x^2 + y^2) sqrt(((d z)/(d x))^2 + ((d z)/(d y))^2 + 1) d A -> ∬_R^() (x^2 + y^2) sqrt((x^2)/(x^2 + y^2) + (y^2)/(x^2 + y^2) + 1) d A ( 1 )

Sabendo que z^2 = x^2 + y^2 , podemos considerar o plano z=1 e reescrever 1 = x^2 + y^2 , substituindo na equação (1), temos que

∬_R^() (x^2 + y^2) sqrt((x^2)/(1) + (y^2)/(1) + 1) d A -> ∬_R^() (x^2 + y^2) sqrt(1 + 1) d A -> sqrt(2) ∬_R^() (x^2 + y^2) d A

Passo 3

Sabendo que R é a projeção de σ no plano xy, podemos reescrever a integral dupla obtida como uma integral iterada, desse modo

sqrt(2) int_0^(2 pi) int_1^2 ( r^3 ) d r d theta

Aqui basta resolvermos da seguinte forma, primeiro a integral de dentro (dr) e depois a de fora (dθ)

sqrt(2) int_0^(2 pi) (r^4)/(4) ~|_1^2 d theta = sqrt(2) int_0^(2 pi) (15)/(4) d theta = sqrt(2) (15)/(4) theta ~|_0^(2 pi) = (15)/(2) pi sqrt(2)

Resposta

(15)/(2) pi sqrt(2)