Enunciado

Encontre D u   f em P .

f   x , y = 1 + x y 3 2 ;   P   3,1 ;   u   = 1 2 i + 1 2 j  

Passo 1

Para resolver essa questão, teremos que usar a Regra da Cadeia para encontrar a f x   x , y e a f y   x , y . Assim, vamos manipular a equação f   x , y para facilitar as contas. Considerando que:

u = 1 + x y

f   u =   u 3 2

Temos pela Regra da Cadeia que:

d f d x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x = 3 2 u 1 2 * y

d f d y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y = 3 2 u 1 2 * x

Para encontrar f x   x , y e a f y   x , y no ponto P   3,1 , faremos a substituição.

f x   x , y   =   3 2 1 + x y 1 2 * y

f x   3,1   =   3 2 1 + 3 * 1 1 2 * 1 = 3 2 4 = 3

f y   x , y   = 3 2 1 + x y 1 2 * x

f y   3,1   =   3 2 1 + 3 * 1 1 2 * 3 = 9 2 4 = 9

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f x   3,1 e f y   3,1 , vamos aplicar a formula de D u   f

D u   f     x 0 , y 0 =   f x   x , y u 1 + f y   x , y u 2

Onde

u   = u 1 i - u 2 j  

Fazer as substituições, temos:

D u   f     3,1 =   f x   3,1 u 1 + f y   3,1 u 2 = 3 * 1 2 + 9 * 1 2 =   12 2

Para melhorar a aparência do resultado, podemos fazer uma manipulação multiplicando por 2 2   , assim temos:

D u   f   3,1 = 12 2 *   2 2 = 6 2

Bem tranquilinha, né?

Resposta

D u   f     3,1 = 6 2

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