Encontre D_u f em P .

f(x, y) = (1 + xy)^(3/2); P(3, 1); u = 1/raiz(2)i + 1/raiz(2)j

Passo 1

Para resolver essa questão, teremos que usar a Regra da Cadeia para encontrar a f_x (x , y) e a f_y (x , y) . Assim, vamos manipular a equação f (x , y) para facilitar as contas. Considerando que:

u = 1 + x y

f (u) = (u)^((3)/(2))

Temos pela Regra da Cadeia que:

(d f)/(d x) = (del f)/(del u) (del u)/(del x) = (3)/(2) (u)^((1)/(2)) * y

(d f)/(d y) = (del f)/(del u) (del u)/(del y) = (3)/(2) (u)^((1)/(2)) * x

Para encontrar f_x (x , y) e a f_y (x , y) no ponto P (3,1) , faremos a substituição.

f_x (x , y) = (3)/(2) (1 + x y)^((1)/(2)) * y

f_x (3,1) = (3)/(2) (1 + 3 * 1)^((1)/(2)) * 1 = (3)/(2) sqrt(4) = 3

f_y (x , y) = (3)/(2) (1 + x y)^((1)/(2)) * x

f_y (3,1) = (3)/(2) (1 + 3 * 1)^((1)/(2)) * 3 = (9)/(2) sqrt(4) = 9

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f_x (3,1) e f_y (3,1) , vamos aplicar a formula de D_u f

D_u f (x_0 , y_0) = f_x (x , y) u_1 + f_y (x , y) u_2

Onde

u = u_1 i - u_2 j

Fazer as substituições, temos:

D_u f (3,1) = f_x (3,1) u_1 + f_y (3,1) u_2 = 3 * (1)/(sqrt(2)) + 9 * (1)/(sqrt(2)) = (12)/(sqrt(2))

Para melhorar a aparência do resultado, podemos fazer uma manipulação multiplicando por (sqrt(2))/(sqrt(2)) , assim temos:

D_u f (3,1) = (12)/(sqrt(2)) * (sqrt(2))/(sqrt(2)) = 6 sqrt(2)

Bem tranquilinha, né?

Resposta

D_u f (3,1) = 6 sqrt(2)