Enunciado

Calcule d i v   F e r o t   F .

F ( x ,   y ,   z )   =   x z 3 i   +   2 y 4 x 2 j   +   5 z 2 y k

Passo 1

Bora para mais uma questão galera!

Vamos começar com essas definições:

F   =   f   ( x ,   y ,   z ) i   +   g ( x ,   y ,   z ) j   +   h ( x ,   y ,   z ) k

d i v   F = ∇ . F = ∂ f ∂ x + ∂ g ∂ y + ∂ h ∂ z

r o t   F = ∇ x F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   f   g   h  

Passo 2

Então vamos começar a encontrar as derivadas.

∂ f ∂ x = z 3

∂ g ∂ y = 8 y 3 x 2

∂ h ∂ z = 10 z y

Usando a equação de d i v   F

d i v   F = ∇ . F = ∂ f ∂ x + ∂ g ∂ y + ∂ h ∂ z = z 3 + 8 y 3 x 2 + 10 z y

Passo 3

Agora vamos encontrar r o t   F .

r o t   F = ∇ x F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   x z 3     2 y 4 x 2   5 z 2 y   i   j   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   x z 3   2 y 4 x 2   | = ∂ 5 z 2 y ∂ y i + ∂ x z 3 ∂ z j + ∂ 2 y 4 x 2 ∂ x k - ∂ x z 3 ∂ y k - ∂ 2 y 4 x 2 ∂ z i - 5 z 2 y ∂ x j = 5 z 2 i + 2 x z 2 j + 4 y 4 x k

Resposta

d i v   F = z 3 + 8 y 3 x 2 + 10 z y

r o t   F = 5 z 2 i + 2 x z 2 j + 4 y 4 x k

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