Calcule div F e rot F .

F(x, y, z) = x * z^3 * i + 2 * y^4 * x^2 * j + 5 * z^2 * y * k

Passo 1

Bora para mais uma questão galera!

Vamos começar com essas definições:

F = f ( x , y , z ) i + g ( x , y , z ) j + h ( x , y , z ) k

d i v F = grad . F = (del f)/(del x) + (del g)/(del y) + (del h)/(del z)

r o t F = grad x F = |i j k (del)/(del x) (del)/(del y) (del)/(del z) f g h|

Passo 2

Então vamos começar a encontrar as derivadas.

(del f)/(del x) = z^3

(del g)/(del y) = 8 y^3 x^2

(del h)/(del z) = 10 z y

Usando a equação de d i v F

d i v F = grad . F = (del f)/(del x) + (del g)/(del y) + (del h)/(del z) = z^3 + 8 y^3 x^2 + 10 z y

Passo 3

Agora vamos encontrar r o t F .

r o t F = grad x F = |i j k (del)/(del x) (del)/(del y) (del)/(del z) x z^3 2 y^4 x^2 5 z^2 y| i j (del)/(del x) (del)/(del y) x z^3 2 y^4 x^2 | = (del 5 z^2 y)/(del y) i + (del x z^3)/(del z) j + (del 2 y^4 x^2)/(del x) k - (del x z^3)/(del y) k - (del 2 y^4 x^2)/(del z) i - (5 z^2 y)/(del x) j = 5 z^2 i + 2 x z^2 j + 4 y^4 x k

Resposta

d i v F = z^3 + 8 y^3 x^2 + 10 z y

r o t F = 5 z^2 i + 2 x z^2 j + 4 y^4 x k