Calcule a integral iterada.

int_(1 // 3)^(1 // 2) int_0^(pi) int_0^1 z x s e n x y d z d y d x

Passo 1

Fala galera! Vamos iniciar essa questão, dessa vez uma integral tripla.

O cálculo da integral tripla acontece da mesma forma que a integral dupla. Vamos integrar de dentro para fora, ou seja, vamos começar da derivada interna e ir para a externa. Vamos começar.

Passo 2

Primeiramente vamos integrar em z , pois é a derivada mais interna.

int_(1 // 3)^(1 // 2) int_0^(pi) int_0^1 z x s e n x y d z d y d x = int_(1 // 3)^(1 // 2) int_0^(pi) [(z^2)/(2) x s e n x y]_0^1 d y d x = int_(1 // 3)^(1 // 2) int_0^(pi) (1)/(2) x s e n x y d y d x

Agora vamos integrar em relação a y .

int_((1)/(3))^((1)/(2)) int_0^(pi) (1)/(2) x s e n x y d y d x = int_(1 // 3)^(1 // 2) [- (1)/(2) x c o s x y]_0^(pi) d x = int_(1 // 3)^(1 // 2) ( - (1)/(2) x c o s x pi + (1)/(2) x c o s x 0 ) d x = int_(1 // 3)^(1 // 2) ( - (1)/(2) x c o s x pi + (1)/(2) ) d x = int_(1 // 3)^(1 // 2) (1)/(2) ( 1 - x c o s x pi ) d x

Por fim, vamos integrar em relação a x . Para isso usaremos a integração por partes. Primeiramente, vamos separar a integral para ficar mais fácil o entendimento.

int_((1)/(3))^((1)/(2)) (1)/(2) (1 - x c o s x pi) d x = int_(1 // 3)^(1 // 2) (1)/(2) d x - int_(1 // 3)^(1 // 2) (x)/(2) c o s x pi d x

Integrando a primeira integral:

int_(1 // 3)^(1 // 2) (1)/(2) d x = [(x)/(2)]_(1 // 3)^(1 // 2) = (1)/(4) - (1)/(6) = (1)/(12)

Integrando a segunda integral, usando a integração por partes:

int_(1 // 3)^(1 // 2) (x)/(2) c o s x pi d x = u v - int_()^() v d u

Onde:

u = (x)/(2) -> d u = (1)/(2) d x

d v = c o s pi x d x -> v = int_()^() c o s pi x d x = s e n pi x

Assim, temos:

u v - int_()^() v d u = (x)/(2) s e n pi x - int_()^() s e n pi x (1)/(2) d x = (x)/(2) s e n pi x - (1)/(2) c o s pi x

int_(1 // 3)^(1 // 2) (x)/(2) c o s x pi d x = u v - int_()^() v d u = [(x)/(2) s e n pi x - (1)/(2) c o s pi x]_((1)/(3))^((1)/(2)) = (1)/(4) s e n (pi)/(2) - (1)/(2) c o s (pi)/(2) - (1)/(6) s e n (pi)/(3) + (1)/(2) c o s (pi)/(3) = (1)/(4) * 1 - (1)/(2) * 0 - (1)/(6) * (sqrt(3))/(2) + (1)/(2) * (1)/(2) = (1)/(4) - (sqrt(3))/(12) + (1)/(4) = (1)/(2) - (sqrt(3))/(12) = (6 - sqrt(3))/(12)

Então, juntando as integrais, temos:

int_((1)/(3))^((1)/(2)) (1)/(2) (1 - x c o s x pi) d x = int_(1 // 3)^(1 // 2) (1)/(2) d x - int_((1)/(3))^((1)/(2)) (x)/(2) c o s x pi d x = (1)/(12) - (6 + sqrt(3))/(12) = (5 + sqrt(3))/(12)

Assim, temos que:

int_(1 // 3)^(1 // 2) int_0^(pi) int_0^1 z x s e n x y d z d y d x = (5 + sqrt(3))/(12)

Resposta

(5 + sqrt(3))/(12)