Calcule a integral de superfície

Passo 1

Topa resolver essa questão?

O primeiro passo para resolvermos essa questão é entender que a integral de superfície dada também pode ser escrita de outra forma, visto que:

  • f (x , y , z) = x y

Logo, podemos escrever:

∬_ơ^() f (x , y , z) d S -> ∬_ơ^() ( x y ) d S

Passo 2

Podemos parametrizar a equação z para obter o valor de dS, assim, se x + y + z = 1 -> z = 1 - x - y , logo:

∬_R^() (x y) sqrt(((d z)/(d x))^2 + ((d z)/(d y))^2 + 1) d A -> ∬_R^() (x y) sqrt((- 1)^2 + (- 1)^2 + 1) d A -> sqrt(3) ∬_R^() (x y) d A

Aplicando a equação z em um recurso computacional podemos obter o seguinte plano.

Assim, é possível perceber que a área de superfície buscada corresponde ao triângulo na região x+y=1, ou seja, o limite de integração corresponde a 0 ≤ x ≤ 1 , logo, 0 ≤ y ≤ 1-x .

sqrt(3) int_0^1 int_0^(1 - x) (x y) d y d x

Passo 3

Aqui basta resolvermos da seguinte forma, primeiro a integral de dentro (dy) e depois a de fora (dx)

sqrt(3) int_0^1 x (y^2)/(2) ~|_1^2 d x = (sqrt(3))/(2) int_0^1 ( x^3 - 2 x^2 + x ) d x = (sqrt(3))/(2) ((x^4)/(4) - (2 x^3)/(3) + (x^3)/(3)) ~|_0^1 = (sqrt(3))/(24)

Resposta

(sqrt(3))/(24)