Encontre D_u f em P .

f(x, y) = sen(5x - 3y); P(3,5); u = 3/5i - 4/5j

Passo 1

Para resolver essa questão, teremos que usar a Regra da Cadeia para encontrar a f_x (x , y) e a f_y (x , y) . Assim, vamos manipular a equação f (x , y) para facilitar as contas. Considerando que:

u = 5 x - 3 y

f (u) = s e n (u)

Temos pela Regra da Cadeia que:

(d f)/(d x) = (del f)/(del u) (del u)/(del x) = c o s c o s (u) * 5 = 5 c o s c o s (u)

(d f)/(d y) = (del f)/(del u) (del u)/(del y) = c o s c o s (u) * (- 3) = - 3 c o s c o s (u)

Para encontrar f_x (x , y) e a f_y (x , y) no ponto P (3,5) , faremos a substituição.

f_x (x , y) = 5 c o s c o s (5 x - 3 y)

f_x (3,5) = 5 c o s c o s (5 * 3 - 3 * 5) = 5

f_y (x , y) = - 3 c o s c o s (5 x - 3 y)

f_y (3,5) = - 3 c o s c o s (5 * 3 - 3 * 5) = - 3

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f_x (3,5) e f_y (3,5) , vamos aplicar a formula de D_u f

D_u f (x_0 , y_0) = f_x (x , y) u_1 + f_y (x , y) u_2

Onde

u = u_1 i - u_2 j

Fazer as substituições, temos:

D_u f (3,5) = f_x (3,5) u_1 + f_y (3,5) u_2 = 5 * (3)/(5) - 3 * (- (4)/(5)) = (27)/(5)

Bem tranquilinha, né?

Resposta

D_u f (3,5) = (27)/(5)