Enunciado

Encontre D u   f em P .

f   x , y =   s e n 5 x - 3 y ;   P   3,5 ;   u   = 3 5 i - 4 5 j  

Passo 1

Para resolver essa questão, teremos que usar a Regra da Cadeia para encontrar a f x   x , y e a f y   x , y . Assim, vamos manipular a equação f   x , y para facilitar as contas. Considerando que:

u = 5 x - 3 y

f   u =   s e n u

Temos pela Regra da Cadeia que:

d f d x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x = c o s c o s   u   * 5 = 5 c o s c o s   u  

d f d y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y = c o s c o s   u   * - 3 = - 3 c o s c o s   u  

Para encontrar f x   x , y e a f y   x , y no ponto P   3,5 , faremos a substituição.

f x   x , y   =   5 c o s c o s   5 x - 3 y  

f x   3,5   =   5 c o s c o s   5 * 3 - 3 * 5 = 5  

f y   x , y   = -   3 c o s c o s   5 x - 3 y  

f y   3,5   =   - 3 c o s c o s   5 * 3 - 3 * 5 = - 3  

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f x   3,5 e f y   3,5 , vamos aplicar a formula de D u   f

D u   f     x 0 , y 0 =   f x   x , y u 1 + f y   x , y u 2

Onde

u   = u 1 i - u 2 j  

Fazer as substituições, temos:

D u   f     3,5 =   f x   3,5 u 1 + f y   3,5 u 2 = 5 * 3 5 - 3 * - 4 5 =   27 5

Bem tranquilinha, né?

Resposta

D u   f     3,5 =   27 5

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