Calcule a integral iterada.

int_0^2 int_(- 1)^(y^2) int_(- 1)^z y z d x d z d y

Passo 1

Fala galera! Vamos iniciar essa questão, dessa vez uma integral tripla.

O cálculo da integral tripla acontece da mesma forma que a integral dupla. Vamos integrar de dentro para fora, ou seja, vamos começar da derivada interna e ir para a externa. Vamos começar.

Passo 2

Primeiramente vamos integrar em x , pois é a derivada mais interna.

int_0^2 int_(- 1)^(y^2) int_(- 1)^z y z d x d z d y = int_0^2 int_(- 1)^(y^2) [y z x]_(- 1)^z d z d y = int_0^2 int_(- 1)^(y^2) ( y z^2 + y z ) d z d y

Agora vamos integrar em relação a z .

int_0^2 int_(- 1)^(y^2) (y z^2 + y z) d z d y = int_0^2 [y (z^3)/(3) + y (z^2)/(2)]_(- 1)^(y^2) d y = int_0^2 ((y^7)/(3) + (y^5)/(2) - (y)/(6)) d y =

Por fim, vamos integrar em relação a y .

int_0^2 ((y^7)/(3) + (y^5)/(2) - (y)/(6)) d y = [(y^8)/(24) + (y^6)/(12) - (y^2)/(12)]_0^2 = (2^8)/(24) + (2^6)/(12) - (2^2)/(12) = (32)/(3) + (16)/(3) - (1)/(3) = (47)/(3)

Assim, temos que:

int_0^2 int_(- 1)^(y^2) int_(- 1)^z y z d x d z d y = (47)/(3)

Resposta

(47)/(3)