Calcule a integral de superfície

Passo 1

Topa resolver essa questão?

O primeiro passo para resolvermos essa questão é entender que a integral de superfície dada também pode ser escrita de outra forma, visto que:

  • f (x , y , z) = (x^2 + y^2) z

Logo, podemos escrever:

∬_ơ^() f (x , y , z) d S -> ∬_ơ^() (x^2 + y^2) z d S

Passo 2

Podemos parametrizar a equação z para obter o valor de dS, assim, se x^2 + y^2 + z^2 = 4 -> z = sqrt(4 - x^2 - y^2) , logo:

∬_R^() (x^2 + y^2) z sqrt(((d z)/(d x))^2 + ((d z)/(d y))^2 + 1) d A -> ∬_R^() (x^2 + y^2) sqrt(4 - x^2 - y^2) sqrt(((x^2)/(4 - x^2 - y^2)) + ((y^2)/(4 - x^2 - y^2)) + 1) d A ∬_R^() (x^2 + y^2) sqrt(4 - ( x^2 + y^2 )) sqrt(((x^2)/(4 - ( x^2 + y^2 ))) + ((y^2)/(4 - ( x^2 - y^2 ))) + 1) d A ( 1 )

Sabendo que z^2 = 4 - x^2 - y^2 , podemos considerar o plano z=1 e reescrever 3 = x^2 + y^2 , substituindo na equação (1), temos que

∬_R^() (x^2 + y^2) sqrt(4 - 3) sqrt(((x^2)/(4 - 3)) + ((y^2)/(4 - 3)) + 1) d A -> ∬_R^() (x^2 + y^2) sqrt(1) sqrt(3 + 1) d A -> ∬_R^() 2 (x^2 + y^2) d A

Passo 3

Sabendo que R é a projeção de σ no plano xy, podemos reescrever a integral dupla obtida como uma integral iterada, desse modo

2 int_0^(2 pi) int_0^(sqrt(3)) ( r^3 ) d r d theta

Aqui basta resolvermos da seguinte forma, , primeiro a integral de dentro (dr) e depois a de fora (dθ)

2 int_0^(2 pi) (r^4)/(4) ~|_0^(sqrt(3)) d theta = 2 int_0^(2 pi) (9)/(4) d theta = 2 (9)/(4) theta ~|_0^(2 pi) = 9 pi

Resposta

9 pi