Enunciado

Calcule a integral de superfície

Passo 1

Topa resolver essa questão?

O primeiro passo para resolvermos essa questão é entender que a integral de superfície dada também pode ser escrita de outra forma, visto que:

  • f x , y , z = x 2 + y 2 z

Logo, podemos escrever:

∬ ơ   f x , y , z   d S       →       ∬ ơ   x 2 + y 2 z   d S  

Passo 2

Podemos parametrizar a equação z para obter o valor de dS, assim, se x 2 + y 2 + z 2 = 4       →       z = 4 - x 2 - y 2 , logo:

∬ R   x 2 + y 2 z d z d x 2 + d z d y 2 + 1   d A       →       ∬ R   x 2 + y 2     4 - x 2 - y 2     x 2 4 - x 2 - y 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 + 1   d A         ∬ R   x 2 + y 2   4 - ( x 2 + y 2 ) x 2 4 - ( x 2 + y 2 ) + y 2 4 - ( x 2 - y 2 ) + 1   d A         ( 1 )

Sabendo que z 2 = 4 - x 2 - y 2 , podemos considerar o plano z=1 e reescrever 3 = x 2 + y 2 , substituindo na equação (1), temos que

∬ R   x 2 + y 2   4 - 3 x 2 4 - 3 + y 2 4 - 3 + 1   d A         →         ∬ R   x 2 + y 2   1   3 + 1   d A           →       ∬ R   2   x 2 + y 2   d A        

Passo 3

Sabendo que R é a projeção de σ no plano xy, podemos reescrever a integral dupla obtida como uma integral iterada, desse modo

2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ( r 3 )   d r   d θ

Aqui basta resolvermos da seguinte forma, , primeiro a integral de dentro (dr) e depois a de fora (dθ)

2 ∫ 0 2 π       r 4 4 ⌉ 0 3   d θ     =       2 ∫ 0 2 π       9 4   d θ     =       2   9 4 θ ⌉ 0 2 π     =       9 π

Resposta

9 π

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