Encontre D_u f em P .

f(x, y) = (c*x + d*y) / (x - y); P(3, 4); u = 4/5*i + 3/5*j

Passo 1

Vamos lembrar de uma regra importante: a derivada de quociente de duas funções, sendo a função do denominador não nula, é dada pela expressão:

(d f (x))/(d x) = ((d g (x))/(d x) h (x) - g (x) (d h (x))/(d x))/([h (x)]^2)

Onde:

f (x) = (g (x))/(h (x))

De posse dessa expressão, vamos calcular as derivadas

g (x , y) = c x + d y

g_x (x , y) = c

g_y (x , y) = d

h (x , y) = x - y

h_x (x , y) = 1

h_x (x , y) = - 1

Para encontrar f_x (x , y) e a f_y (x , y) no ponto P (0,0) , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f_x (x , y) = (g_x (x , y) * h (x) - g (x) * h_x (x , y))/([h (x)]^2) = (c * (x - y) - (c x + d y) * (1))/([x - y]^2)

f_x (3,4) = (c * (3 - 4) - (3 c + 4 d))/([3 - 4]^2) = - 4 c - 4 d

f_y (x , y) = (g_y (x , y) * h (x) - g (x) * h_y (x , y))/([h (x)]^2) = (d * (x - y) - (c x + d y) * (- 1))/([x - y]^2)

f_y (3,4) = (d * (3 - 4) - (3 c + 4 d) * (- 1))/([3 - 4]^2) = - d + (3 c + 4 d) = 3 c + 3 d

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f_x (3,4) e f_y (3,4) , vamos aplicar a formula de D_u f

D_u f (x_0 , y_0) = f_x (x , y) u_1 + f_y (x , y) u_2

Onde

u = u_1 i - u_2 j

Fazer as substituições, temos:

D_u f (3,4) = f_x (3,4) u_1 + f_y (3,4) u_2 = (- 4 c - 4 d) * ((4)/(5)) + (3 c + 3 d) * ((3)/(5)) = - (16)/(5) c - (16)/(5) d + (9)/(5) c + (9)/(5) d = - (7)/(5) ( c + d )

Certinho?

Resposta

D_u f (3,4) = - (7)/(5) ( c + d )