Enunciado

O jacobiano da transformação

x   =   u v ,   y   =   v w ,   z   =   2 w

é

∂ ( x , y , z ) ∂ ( u , v , w ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Passo 1

Bom, nessa questão temos que usar a definição:

J u , v , w = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( u , v , w ) = ∂ x ∂ u   ∂ x ∂ v   ∂ x ∂ w   ∂ y ∂ u   ∂ y ∂ v   ∂ y ∂ w   ∂ z ∂ u   ∂ z ∂ v   ∂ z ∂ w  

Passo 2

Então vamos começar a encontrar as derivadas.

∂ x ∂ u = v

∂ x ∂ v = u

∂ x ∂ w = 0

∂ y ∂ u = 0

∂ y ∂ v = w

∂ y ∂ w = v

∂ z ∂ u = 0

∂ z ∂ v = 0

∂ z ∂ w = 2

Fazendo as substituições e as contas, temos:

∂ ( x , y , z ) ∂ ( u , v , w ) = ∂ x ∂ u   ∂ x ∂ v   ∂ x ∂ w   ∂ y ∂ u   ∂ y ∂ v   ∂ y ∂ w   ∂ z ∂ u   ∂ z ∂ v   ∂ z ∂ w   = v   u   0   0   w   v   0   0   2   = 2 v w

Resposta

  ∂ ( x , y , z ) ∂ ( u , v , w ) = 2 v w

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