Se

r(u, v) = (1 - u)i + [(1 - u) cos v]j + [(1 - u) sen v]k

Passo 1

Fala galera! Vamos iniciar essa questão fazendo as derivadas.

(del r)/(del u) = - i - ( c o s v ) j - ( s e n v ) k

(del r)/(del v) = - [ ( 1 - u ) s e n v ] j + [ ( 1 - u ) c o s v ] k

Passo 2

Agora vamos substituir u = 1 // 2 e v = pi // 6:

(del r)/(del u) ((1)/(2) , (pi)/(6)) = - i - (c o s (pi)/(6)) j - (s e n (pi)/(6)) k = - i - (sqrt(3))/(2) j - (1)/(2) k

(del r)/(del v) ((1)/(2) , (pi)/(6)) = - [(1 - (1)/(2)) s e n (pi)/(6)] j + [(1 - (1)/(2)) c o s (pi)/(6)] k = - (1)/(4) j + (sqrt(3))/(4) k

Passo 3

Para achar o vetor faremos:

(del r)/(del u) ((1)/(2) , (pi)/(6)) x (del r)/(del v) ((1)/(2) , (pi)/(6))

|i j k - 1 - (sqrt(3))/(2) - (1)/(2) 0 - (1)/(4) (sqrt(3))/(4)| = - (3)/(8) i + (1)/(4) k - (1)/(8) i + (sqrt(3))/(4) j = = - (1)/(2) i + (sqrt(3))/(4) j + (1)/(4) k

Passo 4

Por fim, acharemos o vetor normal unitário pela formula

n = ((del r)/(del u) ((1)/(2) , (pi)/(6)) x (del r)/(del v) ((1)/(2) , (pi)/(6)))/(‖ (del r)/(del u) ((1)/(2) , (pi)/(6)) x (del r)/(del v) ((1)/(2) , (pi)/(6)) ‖) = (- (1)/(2) i + (sqrt(3))/(4) j + (1)/(4) k)/(‖ sqrt((- (1)/(2))^2 + ((sqrt(3))/(4))^2 + ((1)/(4))^2) ‖) = (- (1)/(2) i + (sqrt(3))/(4) j + (1)/(4) k)/((1)/(sqrt(2))) = (sqrt(2))/(4) ( - 2 i + sqrt(3) j + k )

Multiplicando por sqrt(2) // sqrt(2) , temos

n = (sqrt(2))/(sqrt(2)) * (sqrt(2))/(4) (- 2 i + sqrt(3) j + k) = (1)/(sqrt(8)) (- 2 i + sqrt(3) j + k)

Resposta

n = (1)/(sqrt(8)) ( - 2 i + sqrt(3) j + k )