Encontre D_u f em P .

f(x, y, z) = 4 * x^5 * y^2 * z^3; P 2, -1,1; u = 1/3 i + 2/3 j - 2/3 k

Passo 1

Para encontrar f_x (x , y , z) , f_y (x , y , z) e f_z (x , y , z) no ponto P (2 , - 1,1) , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f_x (x , y , z) = 20 x^4 y^2 z^3

f_x (2 , - 1,1) = 20 ( 2 )^4 ( - 1 )^2 ( 1 )^3 = 320

f_y (x , y , z) = 8 x^5 y z^3

f_y (2 , - 1,1) = 8 (2)^5 (- 1) (1)^3 = - 256

f_z (x , y , z) = 12 x^5 y^2 z^2

f_z (2 , - 1,1) = 12 (2)^5 (- 1)^2 (1)^2 = - 384

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f_x (2 , - 1,1) , f_y (, 2 , - 1,1) e f_z (2 , - 1,1) , vamos aplicar a formula de D_u f

D_u f (x_0 , y_0 , z_0) = f_x (x , y , z) u_1 + f_y (x , y , z) u_2 + f_z (x , y , z) u_3

Onde

u = u_1 i + u_2 j + u_3 k

Fazer as substituições, temos:

D_u f (2 , - 1,1) = f_x (2 , - 1,1) u_1 + f_y (2 , - 1,1) u_2 + f_z (2 , - 1,1) u_3 = 320 * ((1)/(3)) - 256 * ((2)/(3)) - 384 * (- (2)/(3)) = - 320

Certinho, né?

Resposta

D_u f (2 , - 1,1) = - 320