Enunciado

Encontre D u   f em P .

f   x , y , z =   4 x 5 y 2 z 3 ;   P   2 , - 1,1 ;   u   = 1 3 i + 2 3 j - 2 3 k

Passo 1

Para encontrar f x   x , y , z , f y   x , y , z e f z   x , y , z no ponto P   2 , - 1,1 , faremos a derivação e a substituição do valores do ponto, assim temos:

f x   x , y , z   = 20 x 4 y 2 z 3

f x   2 , - 1,1   = 20 ( 2 ) 4 ( - 1 ) 2 ( 1 ) 3 = 320

f y   x , y , z   = 8 x 5 y z 3

f y   2 , - 1,1   = 8 2 5 - 1 1 3 = - 256

f z   x , y , z   = 12 x 5 y 2 z 2

f z   2 , - 1,1   = 12 2 5 - 1 2 1 2 = - 384

Passo 2

Agora é de posse dos valores de f x   2 , - 1,1 , f y   , 2 , - 1,1 e f z   2 , - 1,1 , vamos aplicar a formula de D u   f

D u   f     x 0 , y 0 ,   z 0 =   f x   x , y , z u 1 + f y   x , y , z u 2 + f z   x , y , z u 3

Onde

u   = u 1 i + u 2 j   + u 3 k

Fazer as substituições, temos:

D u   f     2 , - 1,1 =   f x   2 , - 1,1 u 1 + f y   2 , - 1,1 u 2 + f z   2 , - 1,1 u 3 = 320 * 1 3 - 256 * 2 3 - 384 * - 2 3 =   -   320

Certinho, né?

Resposta

D u   f     2 , - 1,1 =   -   320

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